Приложение к задаче трех тел

85. Теперь я займусь приложениями предыдущих понятий к различным случаям задачи трех тел.

Начнем с частного случая, определенного в п. 9. В этом случае мы имеем всего две степени свободы и четыре переменных

(ср. п. 9,); кроме того,

Гессиан функции равен нулю, однако можно с помощью приемов п. 43 свести задачу к случаю, когда этот гессиан не равен нулю.

Итак, если бы существовал однозначный интеграл, то в разложении (которая является возмущающей функцией в астрономии) по синусам и косинусам углов, кратных все коэффициенты должны были бы обращаться в нуль, становясь вековыми.

Изучение хорошо известного разложения возмущающей функции показывает, что это не так.

Следовательно, мы должны заключить, что в этом частном случае задачи трех тел нет отличных от однозначных интегралов [23].

В моем мемуаре из «Acta mathematica» (т. XIII) [23] я воспользовался для доказательства того же утверждения существованием периодических решений и тем фактом, что характеристические показатели не равны нулю. Доказательство, которое я даю здесь, отличается от доказательства в «Acta» лишь по форме, но оно больше подходит для обобщения, которое будет проведено в дальнейшем.

Рассмотрим теперь немного более общий случай задачи трех тел, а именно случай, когда движение происходит в плоскости, и предположим, что мы свели число степеней свободы к трем, как это было показано в п. 15.

Тогда мы имеем шесть сопряженных переменных, а именно

Предположим, что мы разлагаем возмущающую функцию следующим образоги:

причем коэффициенты будут функциями от

Пусть любые два взаимно простых целых числа; образуем выражения (14) п. 84

Дадим и значения, удовлетворяющие условию т. е. такие, что отношение средних движений будет равно —

Чтобы задача допускала однозначный интеграл, отличный от интеграла живых сил, было бы нужно, чтобы любые два из них были связаны соотношением, т. е. чтобы все выражения (14) были функциями от т. е. от вековой части возмущающей функции. Однако изучение хорошо известного разложения этой функции показывает, что это не так.

Следовательно, мы должны заключить, что, кроме интеграла живых сил, задача не допускает однозначного интеграла следующего вида:

периодического по .

Но этого нам не достаточно, надо еще доказать, что задача не допускает и интеграла следующего вида:

где функция Ф зависит произвольным образом и от а не только разности S.

Для этого надо взять задачу с четырьмя степенями свободы, как мы это делали в .

Тогда мы будем иметь восемь сопряженных переменных

Коэффициенты и выражения (14) п. 84 зависят тогда от Когда получат постоянные значения, при которых отношение средних движений будет равно — выражения (14) предыдущего пункта будут зависеть только от четырех переменных

Для того чтобы имелся однозначный интеграл, отличный от интеграла живых сил, необходимо, чтобы любые четыре выражения из (14) предыдущего пункта были связаны между собой, что имеет место на самом деле, поскольку все эти выражения являются функциями лишь трех переменных:

Таким образом, ничто не препятствует существованию интеграла, отличного от интеграла живых сил, и он действительно существует, а именно интеграл площадей.

Для наличия двух интегралов было бы нужно, чтобы между любыми тремя из этих выражений имелось соотношение, т. е. чтобы все эти выражения зависели лишь от двух из них. А это не так.

Таким образом, кроме интегралов живых сил и площадей, злдача не допускает других однозначных интегралов.

Перейдем, наконец, к наиболее общему случаю задачи трех тел и поставим задачу как в , т. е. с шестью степенями свободы и двенадцатью переменными

Выражения (14) п. 84, когда получают постоянные значения, выбранные подходящим образом, как и выше, зависят снова от восьми переменных .

Для существования однозначных интегралов, отличных от было бы нужно, чтобы между любыми из указанных выражений (14) существовало соотношение.

Легко убедиться в том, что эти выражения зависят только от пяти переменных, а именно от

и от угла плоскостей двух оскулирующих орбит.

Следовательно, между любыми из наших выражений (14) имеется соотношение. Поэтому ничто не препятствует существованию трех новых интегралов, и они на самом деле существуют: это интегралы площадей.

Но между произвольными из выражений (14) не существует соотношения. Следовательно, задача трех тел не допускает другого однозначного интеграла, кроме интегралов живых сил и площадей.

Чтобы не прерывать изложения, я ограничился простым утверждением, что соотношений между выражениями (14) не существует; я вернусь к этому вопросу позднее. Известно, что Брунс доказал («Acta mathematical», т. II), что задача трех тел не допускает нового алгебраического интеграла, кроме уже известных.

Предыдущая теорема в некотором смысле более общая, чем теорема Брунса, так как я доказал не только то, что не существует алгебраического интеграла, но и что не существует даже однозначного трансцендентного интеграла, и не только что интеграл не может быть однозначным при всех значениях переменных, но что он не может даже оставаться однозначным в ограниченной области, определенной выше.

Но в другом смысле теорема Брунса более общая, чем моя; действительно, я установил лишь, что алгебраический интеграл не может существовать при достаточно малых значениях масс; Брунс же доказал, что он не существует ни для какой системы значений масс.