Метод Якоби

181. К уравнению (1) можно применить метод, подробно изложенный в главе IX (единственное различие состоит в том, что на этот раз ряды, безусловно, будут сходиться). В самом деле, уравнение (1) является частным случаем уравнения (3) п. 2. Однако мы видели, что уравнение (3) п. 2 можно привести к каноническому виду уравнений Якоби.

Итак, положим

и

Тогда уравнение

можно будет заменить каноническими уравнениями

Таким образом, задача интегрирования сведется к интегрированию уравнения с частными производными

к которому непосредственно применим метод последовательных приближений п. 125.

Однако использование этого метода не дает особых преимуществ, если только уравнение (1) не является приближенным уравнением поставленной задачи и если после интегрирования этого уравнения не требуется получать дальнейшие приближения с помощью метода вариации произвольных постоянных или этим методом не пользуются для проверки.

Заметим, между прочим, что интегрирование уравнения (2) сводится к интегрированию дифференциального уравнения первого порядка

Как бы то ни было, попытаемся найти, какое соотношение может существовать между функцией определяемой уравнением (2), и функциями и определенными в предыдущих пунктах.

Общее решение канонических уравнений, соответствующих уравнению (1), мы найдем с помощью замены переменных, которая производится следующим образом. Напомню, что мы обозначили

Обозначая через постоянные интегрирования, получаем

Если из этих уравнений исключить две постоянные а сами уравнения разрешить относительно то запишутся в функций Кроме того, выражение

будет полным дифференциалом (ср. конец п. 19).

Итак, положив для краткости

получим

Требуется исключить из этих двух уравнений.

Для этого заметим, что уравнения можно записать в виде

где — функции, периодические по с периодом . Эти функции нетруд но выразить через функции и Разрешая уравнения относительно получаем

Четыре функции периодические с периодом я; они легко выражаются через 0 и, следовательно, через и Возводя в квадрат, получаем, если заметить, что а; должен быть четной функцией относительно

где две функции также периодические с периодом и легко Еыражаются через и

Но

Отсюда вытекает следующее. Производная является периодической функцией с периодом как относительно так и относительно и разложение ее так же, как и разложение, полученное с помощью метода п. 125, содержит члены с где могут принимать всевозможные целые значения. Обратная функция

также периодическая и по и по может содержать лишь члены с

Ясно, что функция четная как относительно так и относительно

Если положить

то из уравнения (2) получим

Методы п. 125 применимы к атому уравнению, хотя оно содержит не только производные от и, но и саму функцию .

Имеем

Коэффициент постоянная. Нетрудно проверить, что их, имеют одинаковый вид, а именно:

Легко выписать рекуррентные соотношения, пользуясь которыми можно определять постоянные

если постоянные известны.