Сравнение с методом Ныокома

129. Чтобы привести ряды к тому же виду, который мы уже рассматривали в этой главе, Ньюком воспользовался методом вариации произвольных постоянных. Для того чтобы доказать, что его результат не может отличаться от результатов, полученных нами в предыдущих параграфах, мы сейчас изложим этот метод в следующем виде.

Обратимся еще раз к уравнению с частными производными

которое в п. 125 фигурировало как уравнение (4).

Пусть функция, зависящая от констант которая приближенно удовлетворяет уравнению (1), так что

где зависит лишь от а величина очень мала. Приближенное решение канонических уравнений

мы получим, полагая

и рассматривая и как произвольные постоянные.

Предположим теперь, что требуется перейти к аппроксимации более высокого порядка, пользуясь методом Лагранжа. В этом случае величины и уже нельзя будет считать константами. Их следует рассматривать как новые неизвестные функции. Эти новые уравнения, по теореме, сформулированной в мы получим следующим образом. Подставим вместо их выражения через полученные из уравнений (3). Тогда

и мы получим канонические уравнения

Вместо я выбрал в качестве переменных (что одно и то же) для того, чтобы сделать по возможности более наглядной каноническую форму этих уравнений.

Интегрирование уравнений (4) можно свести к интегрированию уравнения с частными производными

Пусть функция, зависящая от новых констант и удовлетворяющая этому уравнению. Если положить

то уравнениям (4) мы удовлетворим, приравняв величины этим константам, а величины линейным функциям времени.

Если приближенный интеграл уравнения (5), то мы тем самым получаем и приближенные решения уравнений (4).

Таков метод вариации постоянных. Он совсем не совпадает с тем методом, который мы применяли в . Оставляя все время уравнение (1) в неизменном виде, мы, найдя некоторое приближенное решение, пытаемся найти другое решение, дающее лучшую аппроксимацию. Пусть такое решение, зависящее от и в констант Если мы затем положим

то будут константами, а линейными функциями времени, причем либо точно, если представляет собой точное решение уравнения (1), либо приближенно, если является всего лишь приближенным решением. Можно ли выбрать так, чтобы уравнения (7) были

эквивалентны уравнениям (3) и Уравнения (3) и (6) можно записать в виде

а уравнения (7) в виде

Достаточно положить, следовательно,

чтобы изложенный в п. 125 метод уже не отличался сколько-нибудь существенно от метода Ньюкома и по сравнению с последним обладал лишь тем преимуществом, что позволил избежать большого числа замен переменных.

Я добавлю, что константы интегрирования мы специально подобрали так, чтобы уравнения сохраняли каноническую форму. Ньюком, а впрочем, и другие астрономы не часто прибегали к методу Лагранжа, поскольку уравнения, в которых появляются скобки Лагранжа, на первый взгляд представляются чрезвычайно сложными. Однако это различие несущественно.