Случай плоских орбит

138. После этой замены переменных уравнения движения принимают следующий вид.

Два ряда сопряженных переменных сводятся к

и, кроме того, имеем

где зависит лишь от , а функции периодические по и допускают разложения по степеням [37]

Сверх того, эти функции не изменяются, когда и получают одинаковое приращение; следовательно, они зависят лишь от разностей

Если в функции заменить производной и приравнять константе, рассматривая как заданные постоянные, то мы получим уравнение с частными производными

Как мы видели в пунктах 134 и 135, для того чтобы мы могли построить ряды, расположенные по возрастающим степеням и формально удовлетворяющие уравнениям движения

достаточно уметь интегрировать уравнение (1).

Существует частный случай, в котором интегрирование уравнения (1) выполняется сравнительно легко: это случай, когда три тела движутся в одной плоскости.

В самом деле, в этом случае число величин понижается до двух, так что если считать константами, то будет зависеть лишь от четырех переменных он и Однако имеется еще одно обстоятельство: как мы видели выше, функция зависит лишь от разностей — Следовательно, зависит лишь от трех переменных так что уравнение (1) запишется в виде

Если обозначить и принять в качестве новых переменных то уравнение примет вид

Если теперь придать производной какое-нибудь произвольное постоянное значение, которое я буду обозначать символом то это уравнение будет содержать лишь Отсюда найдем как функцию константы и получим

откуда

Посмотрим, какой вид имеет эта функция Т.

Замечу, что функцию можно разложить по степеням причем член разложения нулевого порядка равен константе, которую я обозначу Н, а членами порядка 1 будут

Затем полагаю (вводя две новые постоянные интегрирования и вместо , что

Тогда для нахождения мы получим систему двух уравнений

Функциональный определитель двух левых частей относительно при равен Следовательно, он отличен от нуля.

Отсюда вытекает (по теореме п. 30), что производные можно найти из этих уравнений в виде рядов, расположенных по возрастающим степеням Члены нулевой степени равны нулю, члены первой степени сводятся соответственно к и а коэффициентами при членах старших степеней являются периодические функции от результате функцию можно записать в виде

и мы получим

где две константы, зависящие от и периодическая функция от .

Произведем теперь замену переменных, определенную в , приняв в качестве новых переменных первого ряда величины

связанные со старыми переменными соотношениями

Тогда сопряженные переменные, которые я обозначу символами

будут определяться уравнениями

Я предполагаю, что в функции Т, зависящей от вместо этих констант подставлены их выражения через Именно в этом смысле и следует понимать производные

Для того чтобы были применимы выводы п. 135, необходимо, чтобы старые переменные

так же, как и переменные

были однозначными функциями новых переменных

и чтобы эти функции были периодическими относительно

Найдем сначала выражения через новые переменные. Для этого мы располагаем двумя уравнениями

Прежде всего мы должны задать себе вопрос, будут ли величины со найденные из этих уравнений, однозначными функциями новых переменных. Однозначность может нарушаться только в том случае, если функциональный определитель правых частей относительно обратится в нуль, т. е. если будет выполняться соотношение

Для краткости я запишу это уравнение в следующем виде:

Замечу с самого начала, что в приложениях величины очень малы и имеют порядок квадрата эксцентриситетов.

С величины связаны следующими соотношениями:

Но можно разложить по возрастающим степеням в этом разложении свободный член отсутствует, а члены первого порядка сводятся к величинам

Отсюда по теореме п. 30 находим

где ряды, расположенные по степеням коэффициенты которых зависят помимо прочего некоторым образом от

Члены нулевой степени равны нулю, члены первой степени равны соответственно

Отсюда следует, что величины и так же, как и имеют порядок квадрата эксцентриситетов.

По определению величин и их можно разложить по степеням и причем коэффициенты разложения будут каким-то образом зависеть от . В этих разложениях нет членов нулевого порядка, а члены первого порядка равны соответственно и

Отсюда вытекают следующие выводы.

1. Величины имеют порядок квадрата эксцентриситетов.

2. Можно поступить наоборот: разлагать и по степеням причем в этом случае

функции содержат лишь члены второго порядка, по крайней мере относительно

3. Функция Т разлагается по возрастающим степеням и содержит лишь члены второго порядка, по крайней мере относительно двух этих величин.

4. Разложение производных по возрастающим степеням начинается с членов первого порядка; обе эти производные имеют тот же порядок величины, что и квадрат эксцентриситетов.

5. То же относится и ко вторым производным а следовательно, и к

Величина очень мала, разность не может быть равной нулю. Итак, мы должны прийти к выводу о том, что а следовательно, и являются однозначными функциями новых переменных.

Я добавлю еще, что являются периодическими функциями от и В самом деле, дадим величинам приращение а величинам приращение целые числа). Поскольку функция Т периодична по уравнения (5) будут удовлетворяться по-прежнему и не изменятся.

Подставив найденные значения в уравнения (3) и (4), мы увидим, что старые переменные

являются однозначными функциями новых переменных, периодическими

Итак, мы оказались в условиях применимости результатов . Выразим функцию с помощью новых переменных. Замечу прежде всего, что по-прежнему будет выражаться только через . Кроме того, периодична относительно переменных второго ряда и

Среднее значение функции рассматриваемой как периодическая функция равно С другой стороны, в силу уравнения (1) равно константе С либо (что то же)

либо

Итак, зависит лишь от и и не зависит от переменных второго ряда.

Следовательно, мы вновь возвращаемся к случаю, рассмотренному в .

Я утверждаю теперь, что функция не изменится, если величинам придать одинаковые приращения. В самом деле, мы уже знаем, что функция не изменяется, когда величины получают одинаковые приращения, а Т зависит лишь от разности уравнений (4) и (5) тогда следует, что если величины получают одинаковое приращение то величины получают то же самое приращение следовательно, функция не изменяется, когда эти четыре новые переменные получают приращение зависит от и довольно сложным образом, поскольку до замены переменных функция содержала радикалы

Пусть

— та функция, в которую переходит после замены переменных. Нам нужно проинтегрировать уравнение

Мы хотим формально удовлетворить этому уравнению, положив

и

должны быть четырьмя нашими постоянными интегрирования. Как мы уже видели, для этого достаточно лишь воспользоваться методом п. 134.