Исследование выражений (14) п. 84

88. Я возвращаюсь к вопросу, который выше был временно оставлен без рассмотрения, а именно к доказательству того факта, что в случае задачи трех тел не существует соотношения между произвольными из выражений (14) п. 84.

Для определения упомянутых только что выражений мы предположили, что возмущающая функция разложена в ряд следующего вида:

где коэффициенты функции остальных переменных

или

Обычно в небесной механике возмущающую функцию разлагают иначе. За переменные берут большие оси, эксцентриситеты, наклонения, средние долготы и долготы перигелиев и узлов.

Однако легко видеть, что это сводится к тому же.

Если мы положим

то получим

Экспоненциальный множитель зависит лишь от средних долгот

и множитель Стит, зависит лишь от остальных переменных: больших осей, эксцентриситетов, наклонений, долгот перигелиев и узлов. Таким образом, мы снова придем к обычному разложению возмущающей функции.

Выражения (3) п. 84 можно тогда записать в виде

Следовательно, чтобы в этом случае существовал однозначный интеграл, необходимо, чтобы между произвольными в плоскости, в пространстве) из выражений

образованных при помощи коэффициентов разложения (2), существовало соотношение.

Таким образом, чтобы применить принципы настоящей главы, не обязательно находить новое разложение возмущающей функции с помощью новых переменных, а именно разложение (1). Можно воспользоваться разложением, уже употреблявшимся астрономами, т. е. разложением (2).

Коэффициенты разлагаются в ряды по возрастающим степеням эксцентриситетов и наклонений. Рассмотрим теперь разложение одного из этих коэффициентов в ряд по степеням эксцентриситетов и наклонений. Известно (см. п. 12), что все члены этого разложения будут по меньшей мере степени относительно этих величин, и если их степень отличается от то отличается на четное число.

Следовательно, мы сможем записать

где представляет собой множество членов разложения степени

относительно эксцентриситетов и наклонений.

Мы скажем, что — главный член и что остальные его члены второстепенные.

Исключение составляет коэффициент в этом случае

зависит лишь от больших осей, если эти большие оси временно считать постоянными, как мы это делали в предыдущих пунктах [действительно, существование однозначного интеграла влечет за собой соотношение между выражениями (14) п. 84 в предположении, что большие оси постоянны]. Итак, если большие оси постоянны, то будет также постоянной, не играющей никакой роли в вычислениях.

Поэтому главным членом условимся называть член второй степени относительно эксцентриситетов и наклонений

Тогда если заменим разложение (2) следующим:

мы скажем, что записали разложение возмущающей функции приведенное к главным членам.

Найдем теперь условие, при котором между любыми из выражений

имеется соотношение.

Образуем таблицу, составленную из бесконечного числа строк, следующего вида. Различные строки соответствуют различным целым значениям индекса Я, положительным, отрицательным или нулевым. Первый элемент строки с индексом К будет

другие будут производными от по переменным

т. е. по эксцентриситетам, долготам перигелиев, наклонениям и долготам узлов.

Необходимым и достаточным условием того, чтобы существовало соотношение между в пространственном случае) выражениями из (14), является равенство нулю определителей, составленных из девяти произвольных строк описанной выше таблицы.

Само собой разумеется, что в более простых случаях, например, когда три тела движутся в плоскости, число столбцов и строк в этих определителях меньше девяти.

Мы видели, что все члены разложения Стит, имеют степень по меньшей мере Следовательно, первый среди элементов строки с номером Я (которые предполагаются разложенными по степеням эксцентриситетов и наклонений), начинается членом степени

То же самое можно сказать о производных по , тогда как производные по начинается членами степени

Для строки с номером 0 первый член сводится к нулю; разложения производных но и но начинаются членами второй степени, а разложения по начинаются членами первой степени.

Наши определители в свою очередь можно разложить в ряды по степеням Если определитель А образован из строк с номерами

то все члены его разложения будут по меньшей мере степени

Я буду обозначать эту величину через а.

Случай, когда представляет собою исключение; все члены тогда имеют по меньшей мере степень

И эту величину я буду обозначать через а.

Поскольку определитель А должен быть тождественно равен пулю, совокупность членов степени а тоже должна быть тождественно равна нулю. Но мы получим эти члены степени а, заменив в определителе А каждый из коэффициентов его главным членом если

Полученный таким образом определитель должен, следовательно, быть тождественно равным нулю; но что же означает условие

Образуем выражения

полученные заменой каждого коэффициента С в выражениях (14) его главным членом.

Если мы положим в выражении (14), то это выражение сведется к

главный член которого есть

Мы прибавим к таблице выражений выражение являющееся целым многочленом второй степени относительно

Итак, условие означает, что любые восемь выражений из ( содержащиеся в дополненной таким образом таблице, связаны соотношением.

Итак, для того чтобы имелся однозначный интеграл, необходимо чтобы любые восемь из выражений были связаны соотношением.

Коэффициенты С были бесконечными рядами, а выражения (14) были представлены в виде отношения двух таких рядов.

Напротив, выражения рациональны относительно синусов и косинусов и 0.

Следовательно, проверка облегчается заменой коэффициентов их главными членами. Она становится даже легкой для малых зпачений целых чисел

Убедившись таким образом, что определители, соответствующие малым значениям целых рад, не равны нулю, трудно надеяться, что определители, соответствующие большим значениям этих целых чисел, могут обращаться в нуль и допускать таким образом существование однозначного интеграла.

Тем не менее некоторое сомнение могло бы еще сохраниться.

Можно было бы предположить, как бы это ни показалось неправдоподобным, что среди классов (в терминологии п. 84) имеется конечное число обыкновенных и что это именно те классы, которые мы проверяли; но что имеется также бесконечное число особых классов.

Чтобы окончательно разрешить это сомнение, надо было бы иметь общее выражение функций (14) и для всех целых значений и это выражение не могло не быть крайне сложным.

К счастью, Фламм в недавней диссертации дал приближенное выражение членов высокого порядка в разложении возмущающей функции, и этого приближенного выражения гораздо более простого чем полное, достаточно для наших целей.

Однако вид, который Фламм дал этому разложению, не самый удобный для интересующей нас задачи; мы будем вынуждены дополнить его результаты и значительно их преобразовать.

Я вернусь к этому вопросу в следующей главе, после того, как будет рассмотрено приближенное вычисление различных членов возмущающей функции, потому что, хотя предыдущие рассмотрения и могли убедить любого скептика, они все же не составляют строгого математического доказательства.

89. Проверку в некоторой степени может облегчить еще одпо замечание.

Рассмотрим вновь соотношение (13) из п. 84, имеющее вид

Положив в этом соотношении я получу частное соотношение, которое я обозначу положив в нем я получу другое частное соотношение, которое я назову

Пусть далее

где будет одним из выражений (14), которые играли столь большую роль в предыдущем пункте.

Умножим соответственно на

сложим и получим

или, принимая обозначения Якоби для скобок Пуассона,

или же

Итак, если два выражения из (14) предыдущего пункта, принадлежащие одному и тому же классу, то мы должны иметь

или по теореме Пуассона

откуда можно заключить, что функция из выражений (14).

Не следует забывать, что скобки должны быть вычислены в предположении, что (т. е. в случае задачи трех тел являются постоянными.