Абсолютная орбита

176. Если разобраться в существе теории Гильдена, то станет ясно, что выбор переменной не играет никакой существенной роли и что результатов, вполне аналогичных полученным, можно достичь и с помощью иного выбора независимой переменной.

Наиболее простым и в большинстве случаев наиболее удобным является выбор в качестве независимой переменной времени Именно так и поступал сам Гильден в своем мемуаре помещенном в т. IX журнала «Acta mathematica».

Однако имеется и много других возможностей выбора. В некоторых своих исследованиях Гильден среди прочих пользовался одной переменной, определение которой более сложно. Эту переменную он также обозначал Именно о ней я и хочу сказать несколько слов.

Знаменитый астроном предложил пользоваться орбитой, расположенной вблизи от истинной и названной им абсолютной орбитой. Эта абсолютная орбита проходит в некотором смысле посредине менаду промежуточной и истинной орбитами.

Обратимся к уравнениям (1) п. 167. Расссмотрим в правых частях этих уравнений главные члены. Пусть означает совокупность главных членов выражения совокупность главных членов в так что разностями

в первом приближении можно пренебречь.

Пусть означает результат подстановки в вместо их приближений, записанных в виде функций от после чего заменено на

Введем вспомогательную функцию полагая

и, наконец, пусть

Определенная таким образом функция будет нашей новой независимой переменной. Она мало отличается от V, поскольку удовлетворяет уравнению

в то время как удовлетворяет уравнению

Эти уравнения отличаются лишь некоторыми членами, которые по предположению малы. Следовательно, можно положить

Из уравнений (2) и (3) получим

Но чтобы найти мы производили в замену координат и, и и их приближенными значениями, записанными в виде функций от после чего заменяли на

Отсюда следует, что зависит только от и уравнение (4) легко интегрируется в квадратурах.

Второе уравнение (1) из п. 167 запишется в виде

Ясно, что когда мало, производная мало отличается от единицы. Следовательно, в первом приближении коэффициент можно заменить единицей. Итак, если приближенное значение и и

то для нахождения их можно воспользоваться уравнением

где означает функцию, в которую переходит Р при замене на и — на на их приближенные значения, выраженные через

Функция зависит лишь от их и функция от получаемая из уравнения (4). В результате мы получаем дифференциальное уравнение второго порядка, связывающее их и

Преобразуя его с помощью методов п. 173, т. е. полагая

найдем

Это уравнение имеет тот же вид, что и уравнения (а) и п. 169.

Определив таким образом координаты фиктивного тела, описывающего абсолютную орбиту, вычислим поправки с помощью аналогичных методов и получим координаты истинной планеты.