Применение теории линейных подстановок

57. Прежде чем идти дальше, я должен напомнить некоторые свойства линейных преобразований, которые нам будут полезны в дальнейшем. Пусть

есть линейная подстановка, связывающая переменные с переменными у. Определитель этой подстановки есть

а уравнение

так называемое уравнение относительно 5 подстановки (1). Если применить к и у одну и ту же линейную подстановку, т. е. ечти положить

где - постоянные, то у и будут связаны между собой линейными соотношениями того же вида, что и (1), и мы получим

Линейная подстановка (3) будет называться тогда преобразованной подстановкой (1).

Из теории линейных подстановок нам известно:

1) что новое уравнение относительно S

не отличается от прежнего уравнения относительно

2) что если определитель А равен нулю вместе со своими минорами до порядка включительно, то то же самое верно и для определителя

(в самом деле, миноры порядка определителя А являются линейной комбинацией миноров порядка определителя А);

3) что можно выбрать X таким образом, что подстановка (2) сведется к самому простому, так называемому каноническому виду. Этот вид характеризуется следующим.

Если все корни уравнения относительно S простые, то одновременно можно обратить в нуль

Если уравнение относительно S имеет двойной корень, то можно одновременно обратить в нуль тогда

Если уравнение относительно 6 имеет тройной корень, то можно одно временно обратить в нуль тогда

Во всех случаях можно предполагать, что X были выбраны так, что

Если уравнение относительно S имеет нулевой корень, то и А равен нулю, и обратно. Предположим теперь, что все миноры первого порядка определителя А равны нулю, тогда то же верно и для определителя А. Но поскольку

то среди миноров А есть три, которые сводятся к

они могут обращаться в нуль, лишь если две из трех величин равны нулю. Но эти три величины суть три корня уравнения относительно . Следовательно, если миноры А все равны нулю, уравнение относительно S имеет два нулевых корня.

Обратное неверно.

Действительно, уравнение относительно S

имеет два нулевых корня, однако не все миноры равны нулю.

Мы предположили для определенности, что имеем дело с линейной подстановкой относительно только трех переменных, однако те же рассуждения применяются и при любом числе переменных.

Если определитель линейной подстановки равен нулю вместе со всеми минорами первого, второго и т. д., до порядка, то уравнение относительно S будет иметь нулевых корней,

58. Пусть, как и в предыдущей главе,

— система дифференциальных уравнений. Пусть

— периодическое решение этих уравнений, имеющее период Т.

Пусть в решении, близком в этому периодическому решению, значение при значение при

Рассмотрим функциональный определитель по

Его можно рассматривать как таблицу коэффициентов линейной подстановки Т.

Если совершить линейную замену переменных х, то подвергнутся той же линейной замене переменных, и линейная подстановка Т превратится в преобразованную подстановку в смысле предыдущего пункта.

Следовательно, мы можем выбрать линейную замену переменных так, чтобы возможно Сильнее упростить таблицу коэффициентов Г, как это было указано выше.

Итак, мы можем всегда предполагать, что совершена такая замена переменных, что

при

В этом случае корни уравнения относительно соответствующего подстановке Т, равны

Более того, мы можем выбрать замену переменных так, что эти корни уравнения относительно S будут располагаться в том порядке, в каком нам угодно. Если, например, уравнение относительно S имеет два нулевых корня, можно выбрать эту замену переменных так, что

Если уравнение относительно S имеет лишь один корень, равный то можно выбрать замену переменных так, что

Предположим теперь, что уравнение относительно S имеет один и только один нулевой корень; мы можем в силу изложенного выше предположить, что этот нулевой корень есть так что

и выбрать в то же время замену переменных так, чтобы удовлетворялись условия (1) и (2).

Итак, если уравнение относительно S имеет один и только один нулевой корень, то можно всегда предположить, что