Аналогия между рядами п. 108 и рядами Стирлинга

116. Применим предыдущую лемму к уравнениям (21), которые мы запишем в виде

Как мы видели в конце мы можем найти два положительных числа таких, что для всех вещественных значений и всех значений заключенных между это остается справедливым, как бы велико ни было мы будем иметь

Марчг

Что касается индекса к то он равен при или 2 и равен 4 при или 4. Теперь положим

и сравним уравнения

с уравнениями (21).

Среди частных решений уравнений (21) и мы выберем те, которые делятся на (это будут именно те решения, которые мы выше обозначали через

Ясно, что мы всегда можем взять М достаточно большим, чтобы

Отсюда мы заключим, что

при

Попытаемся теперь проинтегрировать уравнения . Я замечу прежде всего, что, так как Ф не зависит от тоже не зависят от и мы имеем

Это последнее уравнение имеет интеграл

разлагающийся в ряд по степеням шиви делящийся на Когда а стремится к очевидно, стремится к интегралу уравнения

Это линейное уравнение интегрируется очень просто, и мы находим

Эта формула нужна мне только для того, чтобы заключить, что если

то и, следовательно, стремятся к конечному пределу, когда а стремится к 0.

Отсюда следует, что ряд

представляет функцию 0; асимптотически (т. е. подобно ряду Стирлинга) или, другими словами, что выражение

стремится к 0 вместе с а. Действительно, это выражение равно и мы только что видели, что остается конечным, когда а стремится к 0.

117. Но это не все; я утверждаю, что остается конечной, когда а стремится к 0.

Действительно, мы имеем

функции но, как мы только что видели, мы можем ограничить сверху; следовательно, мы можем ограничить сверху также и Предположим, например, что выполняются неравенства

где положительные числа.

С другой стороны, мы знаем, что можно ограничить сверху при если меньше величины, обозначенной нами через в конце п. 112.

Например, предположим, что

где положительное число. Пусть затем и — функция, определенная следующим образом:

Очевидно, будет выполняться неравенство

Но легко видеть, что и зависит лишь от и удовлетворяет уравнению

Следовательно, и конечно; значит, остается конечной, когда стремится к 0. Итак, мы имеем асимптотически (вкладывая в это слово тот же смысл, что и выше)

Можно было бы также доказать, что асимптотически

Итак, вот конечный вывод, к которому мы приходим. Ряды

определенные в этом пункте, расходятся, но они имеют то же свойство, что и ряды Стирлинга, так что асимптотически выполняются равенства

Более того, если произвольный символ дифференцирования, т. е. если мы полагаем

то асимптотически

Что касается изучения рядов, аналогичных рядам Стирлинга, я отсылаю читателя к § 1 моего мемуара, опубликованного в «Acta mathematiса» (t. VIII, p. 295) [29]. Кроме того, ясно, что подобные же рассуждения остались бы в силе, если бы имелось больше двух степеней свободы и, следовательно, переменных вместо одной.