Главная > А.Пуанкаре Избранные труды в трех томах. Т.1
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
440
441
442
443
444
445
446
447
448
449
450
451
452
453
454
455
456
457
458
459
460
461
462
463
464
465
466
467
468
469
470
471
472
473
474
475
476
477
478
479
480
481
482
483
484
485
486
487
488
489
490
491
492
493
494
495
496
497
498
499
500
501
502
503
504
505
506
507
508
509
510
511
512
513
514
515
516
517
518
519
520
521
522
523
524
525
526
527
528
529
530
531
532
533
534
535
536
537
538
539
540
541
542
543
544
545
546
547
548
549
550
551
552
553
554
555
556
557
558
559
560
561
562
563
564
565
566
567
568
569
570
571
572
573
574
575
576
577
578
579
580
581
582
583
584
585
586
587
588
589
590
591
592
593
594
595
596
597
598
599
600
601
602
603
604
605
606
607
608
609
610
611
612
613
614
615
616
617
618
619
620
621
622
623
624
625
626
627
628
629
630
631
632
633
634
635
636
637
638
639
640
641
642
643
644
645
646
647
648
649
650
651
652
653
654
655
656
657
658
659
660
661
662
663
664
665
666
667
668
669
670
671
672
673
674
675
676
677
678
679
680
681
682
683
684
685
686
687
688
689
690
691
692
693
694
695
696
697
698
699
700
701
702
703
704
705
706
707
708
709
710
711
712
713
714
715
716
717
718
719
720
721
722
723
724
725
726
727
728
729
730
731
732
733
734
735
736
737
738
739
740
741
742
743
744
745
746
747
748
749
750
751
752
753
754
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

Случай либрации

205. Что произойдет, если постоянная не будет превышать максимум и, следовательно, если функция не будет всегда вещественной? В этом случае, о котором говорят, что происходит либрация, возникают некоторые трудности. Их можно преодолеть с помощью искусственного приема, аналогичного тому, применяя который в п. 199, мы воспользовались эллиптическими функциями. Чтобы немного упростить изложение, я буду предполагать, что

Я имею право поступать таким образом, ибо если бы величины имели иные значения, я мог бы произвести замену переменных, аналогичную замене (3) из п. 202.

Мы не можем более делать так, чтобы производные были периодическими функциями от мы можем по крайней мере попытаться найти такую функцию чтобы производные были периодическими функциями

Тогда то, что мы в обозначали символом представляет собой не что иное, как среднее значение функции рассматриваемой как периодическая функция

Следовательно,

В самом деле,

равны каким-то постоянным, а с другой стороны, соотношение

в данном случае сводится просто к

так что левая часть уравнения (12) не содержит члена

Я мог бы предположить, что не только производные но и функции (по крайней мере, при являются периодическими функциями от Это предположение совпадает с предположениями (9) и (10) предыдущего пункта, которые, как мы видели, не уменьшают общности. Если принять такое предположение, то постоянная в правой части уравнения (12) будет равна нулю.

Установив это, обратимся к уравнениям (3) предыдущего пункта. Из второго уравнения мы узнаем, что зависит лишь от а третье уравнение после того, как мы приравняем средние значения обеих его частей, дает

откуда и находим

Учитывая уравнение (13), третье уравнение (3) можно записать в виде

Поскольку правая часть зависит от причем среднее значение ее равно нулю, применение метода интегрирования, которым мы

уже неоднократно пользовались, позволяет нам получить с точностью до произвольной функции от уравнение (14) позволяет найти

Чтобы найти рассмотрим четвертое уравнение (3) и приравняем средние значения его правой и левой части. Получим

Отсюда находим значение

Зная и учитывая (15), можем записать четвертое уравнение (3) в виде

Среднее значение Ф равно нулю. Поэтому это уравнение, имеющее тот же вид, что и уравнение (14), решается так же, и мы получим

Ясно, что найденные таким образом функции однозначно зависят от .

206. Для более подробного исследования наших функций необходимо произвести замену переменных. Для этого введем вспомогательную функцию Т, определяемую следующим образом:

где постоянные, удовлетворяющие условиям

Иначе говоря, есть не что иное, как величина, которую мы обозначали

Чтобы найти мы исходим из того же уравнения, которым пользовались для определения т. е. уравнения (7) п. 204. Заменим в этом уравнении на на и получим

К этому уравнению еще добавим

( постоянные). Важно заметить, что делая последнее предположение, я определяю так же, как ранее определял но при этом отбрасываю предположения (9), в силу которых постоянные должны были равняться нулю.

Поскольку коэффициенты зависят лишь от они являются постоянными. Следовательно, если заменить постоянными то уравнение примет вид

где А — некоторая постоянная, два однородных полинома относительно первый — первой степени, второй — второй. Отсюда находим

Я введу обозначения

и для сокращения записи

откуда

Затем из уравнения

аналогичного уравнению (11) п. 204, находим

Это уравнение, как мы уже видели, определяет с точностью до произвольной функции от Поэтому мы можем выбрать эту функцию как угодно, например так, чтобы

Я положу

Отсюда следует:

является периодической функцией не зависящей от ибо этими свойствами обладают в которых по предположению заменены на константы

2. Если в левой части уравнения (2) из заменить S на Т, то левая часть запишется в виде

с точностью до членов, содержащих множитель ибо функции удовлетворяют трем первым уравнениям (3), если только нуль в правой части второго из этих уравнений заменить на С

Положим теперь

Если в качестве новых переменных вместо принять то канонический вид уравнений не изменится.

Рассмотрим прежде всего второе уравнение (16), в которое входят Я утверждаю, что если считать постоянной и изменять только то будет периодической функцией от

Именно в этом месте проявляется аналогия с применением эллиптических функций в . В том частном случае, который был там рассмотрен,

так что второе уравнение (16) записалось бы в виде

Интеграл в правой части является эллиптическим интегралом и, следовательно, представляют собой двоякопериодические функции от Следует различать два случая, в зависимости от того,

Если то вещественный период равен

а если

то вещественный период равен

Кроме того, в этом частном случае представляет сабой однозначную функцию от как при мнимых, так и при вещественных значениях Однако в общем случае является однозначной функцией от только при вещественных значениях а с другой стороны, обладают вещественным периодом, равным

если больше, чем максимум и

если меньше этого максимума и если разность обращается в нуль при и остается положительной при Добавлю, что в первом случае получает приращение, равное если увеличивается на один период, в то время как во втором случае, т. е. в случае либрации, принимает свое исходное значение, если получает приращение, равное периоду.

В частном случае, рассмотренном в п. 199, двоякопериодическими функциями являются не только но и же касается

то эта функция возрастает на одну и ту же постоянную величину, когда получает приращение, равное периоду.

Точно так же, в общем случае (следовательно, и оказывается периодической функцией от Эта функция так же, как и

зависит помимо прочих аргументов от играющего роль, аналогичную модулю в случае эллиптических функций.

Заметим, прежде чем переходить к дальнейшему, что период этих различных периодических функций от пропорционален

Отсюда следует, что в случае либрации оказываются периодическими функциями Кроме того, зависят от от этих переменной они являются периодическими функциями с периодом

Следовательно, если старые переменные выразить через новые переменные и то станет ясно, что у будут периодическими функциями от Поэтому периодической функцией от у будет и которая периодична с периодом относительно у Период будет равен

по по Для краткости период относительно я буду обозначать через Ясно, что Р зависит от аналогично тому, как период эллиптических функций зависит от модуля, и является функцией модуля.

Если ввести обозначение

откуда

то будет периодической функцией от z; период ее относительно равен Р, а относительно остальных равен Кроме того, будет зависеть от выраженную как функцию от можно разлагать по степеням Первые три члена разложения

не зависят от а являются функциями одних лишь Первое слагаемое представляет собой абсолютную постоянную; по определению есть линейная функция от не зависящая от Наконец,

откуда следует, что представляет собой полином первого порядка относительно остальных

Положим теперь

Тогда уравнения запишутся в виде

Функция так же, как и функция F в п. 125, периодически зависит от переменных второго ряда, которыми в нашем случае являются

Тем не менее существуют два обстоятельства, препятствующие непосредственному применению методов п. 125 к уравнениям (17).

1. Хотя функция периодична относительно однако относительно ее период равен не .

Чтобы обойти эту трудность, достаточно произвести замену переменных. Если положить

то уравнения по-прежнему будут каноническими и запишутся в виде

и теперь уже функция периодическая с периодом относительно

2. Если положить то будет равна зависит не от всех переменных первого ряда, а только от

ибо постоянная равна нулю. Таким образом, мы оказываемся не в условиях п. 125, а в условиях п. 134. Мы сейчас увидим, что выводы, полученные в этом пункте, применимы и в рассматриваемом нами сейчас случае.

В самом деле, в рассматриваемом нами случае функцией, соответствующей функции, обозначенной в п. 134 символом является Нетрудно видеть, что зависит от и, следовательно, от и зависит лишь от переменных первого ряда.

Итак, условия, при которых верна теорема п. 134, выполнены и мы заключаем, что существует функций

зависящих от переменных

произвольных постоянных и удовлетворяющих следующим условиям.

1. При подстановке этих функций в последняя становится константой.

2. Выражение

является полным дифференциалом.

3. Эти функций периодичны с периодом относительно

Итак, будем рассматривать их и как функции от и z. Это позволит нам получить соотношений между этими переменными, затем с помощью уравнений (16), (16bis) и (18) вернемся к старым переменным и у. При этом мы получим соотношений между Разрешая эти соотношения относительно, получимв виде функций от Ясно, что:

1. Если в вместо подставить их выражения через то обратится в постоянную.

2. Выражение

представляет собой полный дифференциал, ибо из уравнений (16), (16bis) и (18) видно, что разность

всегда является полным дифференциалом.

3. Если выразить через то будут периодическими функциями этих переменных; точно так же, если выразить через то полученные при этом функции будут периодическими с периодом относительно

Отсюда следует, что функции определяемые уравнением (20), не отличаются от тех функций, изучением которых мы занимались в п. 205, поскольку для отыскания их мы воспользовались уравнением (2) п. 204 и условием, состоящим в том, что производные должны быть периодическими относительно

Таким образом, две системы уравнений

и

оказываются тождественными при условии, если V удовлетворяет уравнению с частными производными

и условию, состоящему в том, что производные от V должны быть периодичны относительно и функция S определяется так же, как и в п. 205.

Функцию V можно разложить по степеням и записать в виде

Каждую из функций можно записать в виде

где периодическая функция, а постоянных аналогичных постоянным п. 125, можно так же, как и последние, выбирать произвольно. Аналогично

и мы видели, что зависят еще и от произвольных постоянных, обозначенных нами выше

Разумеется, для того чтобы обе системы уравнений (21) и (22) были тождественными, если постоянным приданы вполне определенные значения, необходимо, чтобы постоянным а были приданы соответствующие значения, и наоборот.

Таким образом, каждой функции V соответствует некоторая функция и наоборот.

Однако в предыдущих пунктах на постоянные и, следовательно, на функцию мы наложили некоторые условия — предположения (9) и (10). Если эти предположения требуется сохранить, то постоянные в свою очередь должны удовлетворять определенным условиям, которые нетрудно сформулировать. Скажу только, что должны обращаться в нуль вместе с

Уравнения (21) и (22) позволяют выразить все переменные в виде функций из них. Предположим, что представлены в виде функций от

Пусть

Нетрудно видеть, что функции и периодические с периодом относительно каждой из переменных, от которых они зависят.

Если временно считать постоянными, а координатами точки на плоскости, то можно рассмотреть уравнения

Когда мы изменяем точка описывает некоторую замкнутую кривую, ибо функции принимают свои первоначальные значения, когда получает приращение, равное

Итак, если рассматривать как постоянные, то уравнение

будет уравнением некоторой замкнутой кривой.

Именно к этому результату я и стремился. Однако важно уточнить его смысл. В самом деле, не следует забывать, что сформулированные выше теоремы верны, но только с точки зрения формального анализа.

Функции 0 и допускают разложение по степеням так что мы можем записать

причем все функции периодические с периодом

Правые части уравнений (24) представляют собой ряды, расположенные по степеням однако, вообще говоря, эти ряды не сходятся. Следовательно, уравнения (24) верны лишь с точки зрения формального анализа. Поэтому перепишем эти уравнения заново, обрывая разложения на члене, содержащем Тогда

Очевидно, что уравнения определяют некоторую замкнутую кривую. Предположим, что исключив из этих уравнений мы разрешили их относительно Тогда

зависят от Правая часть равенства (25) представляет собой бесконечный ряд, однако этот ряд сходится, а уравнение (25) является уравнением замкнутой кривой.

В силу принципов формального анализа полученное таким способом значение может отличаться от лишь на величину порядка Следовательно, мы получаем

но мы не получаем

Будет ли теперь кривая

замкнутой?

Обратимся к уравнению (15). Поскольку в случае либрации обращается в нуль при двух различных значениях можно поставить вопрос, не будет ли и, следовательно, обращаться в бесконечность. Это оказывается невозможным, ибо обращается в нуль одновременно с Найдем следующие члены нашего приближенного решения.

Чтобы найти выпишем уравнение, аналогичное уравнению (15)

Будет ли в этом случае производная обращаться в бесконечность?

Правда, в пашем распоряжении имеется постоянная которую можно выбрать так, чтобы производная не обращалась в бесконечность при одном из тех значений при которых обращается в нуль Однако не обращается в нуль при другом значении обращающем в нуль Итак, обращается в бесконечность при любом выборе постоянной

Таким образом, уравнение (26) не задает никакую замкнутую кривую, ибо его правая часть обращается в бесконечность.

Следовательно, когда я говорил выше, что кривая

замкнута, это утверждение само по себе не могло иметь никакого смысла, поскольку ряд S расходится.

Смысл этого утверждения таков.

Оно означает, что всегда можно выбрать функцию Ф, зависящую от и допускающую разложение по степеням и такую, что уравнение

представляет собой уравнение замкнутой кривой.

Простой пример поможет лучше уяснить сказанное. Пусть уравнение кривой имеет вид

Это эллипс. Разложим правую часть по степеням и оборвем разложение, например, на члене Получим

Это уравнение уже не определяет никакой замкнутой кривой, ибо его правая часть при обращается в бесконечность.

Все эти трудности, носящие чисто искусственный характер, можно обойти с помощью замены переменных (16).

1
Оглавление
email@scask.ru