Случай либрации

205. Что произойдет, если постоянная не будет превышать максимум и, следовательно, если функция не будет всегда вещественной? В этом случае, о котором говорят, что происходит либрация, возникают некоторые трудности. Их можно преодолеть с помощью искусственного приема, аналогичного тому, применяя который в п. 199, мы воспользовались эллиптическими функциями. Чтобы немного упростить изложение, я буду предполагать, что

Я имею право поступать таким образом, ибо если бы величины имели иные значения, я мог бы произвести замену переменных, аналогичную замене (3) из п. 202.

Мы не можем более делать так, чтобы производные были периодическими функциями от мы можем по крайней мере попытаться найти такую функцию чтобы производные были периодическими функциями

Тогда то, что мы в обозначали символом представляет собой не что иное, как среднее значение функции рассматриваемой как периодическая функция

Следовательно,

В самом деле,

равны каким-то постоянным, а с другой стороны, соотношение

в данном случае сводится просто к

так что левая часть уравнения (12) не содержит члена

Я мог бы предположить, что не только производные но и функции (по крайней мере, при являются периодическими функциями от Это предположение совпадает с предположениями (9) и (10) предыдущего пункта, которые, как мы видели, не уменьшают общности. Если принять такое предположение, то постоянная в правой части уравнения (12) будет равна нулю.

Установив это, обратимся к уравнениям (3) предыдущего пункта. Из второго уравнения мы узнаем, что зависит лишь от а третье уравнение после того, как мы приравняем средние значения обеих его частей, дает

откуда и находим

Учитывая уравнение (13), третье уравнение (3) можно записать в виде

Поскольку правая часть зависит от причем среднее значение ее равно нулю, применение метода интегрирования, которым мы

уже неоднократно пользовались, позволяет нам получить с точностью до произвольной функции от уравнение (14) позволяет найти

Чтобы найти рассмотрим четвертое уравнение (3) и приравняем средние значения его правой и левой части. Получим

Отсюда находим значение

Зная и учитывая (15), можем записать четвертое уравнение (3) в виде

Среднее значение Ф равно нулю. Поэтому это уравнение, имеющее тот же вид, что и уравнение (14), решается так же, и мы получим

Ясно, что найденные таким образом функции однозначно зависят от .

206. Для более подробного исследования наших функций необходимо произвести замену переменных. Для этого введем вспомогательную функцию Т, определяемую следующим образом:

где постоянные, удовлетворяющие условиям

Иначе говоря, есть не что иное, как величина, которую мы обозначали

Чтобы найти мы исходим из того же уравнения, которым пользовались для определения т. е. уравнения (7) п. 204. Заменим в этом уравнении на на и получим

К этому уравнению еще добавим

( постоянные). Важно заметить, что делая последнее предположение, я определяю так же, как ранее определял но при этом отбрасываю предположения (9), в силу которых постоянные должны были равняться нулю.

Поскольку коэффициенты зависят лишь от они являются постоянными. Следовательно, если заменить постоянными то уравнение примет вид

где А — некоторая постоянная, два однородных полинома относительно первый — первой степени, второй — второй. Отсюда находим

Я введу обозначения

и для сокращения записи

откуда

Затем из уравнения

аналогичного уравнению (11) п. 204, находим

Это уравнение, как мы уже видели, определяет с точностью до произвольной функции от Поэтому мы можем выбрать эту функцию как угодно, например так, чтобы

Я положу

Отсюда следует:

является периодической функцией не зависящей от ибо этими свойствами обладают в которых по предположению заменены на константы

2. Если в левой части уравнения (2) из заменить S на Т, то левая часть запишется в виде

с точностью до членов, содержащих множитель ибо функции удовлетворяют трем первым уравнениям (3), если только нуль в правой части второго из этих уравнений заменить на С

Положим теперь

Если в качестве новых переменных вместо принять то канонический вид уравнений не изменится.

Рассмотрим прежде всего второе уравнение (16), в которое входят Я утверждаю, что если считать постоянной и изменять только то будет периодической функцией от

Именно в этом месте проявляется аналогия с применением эллиптических функций в . В том частном случае, который был там рассмотрен,

так что второе уравнение (16) записалось бы в виде

Интеграл в правой части является эллиптическим интегралом и, следовательно, представляют собой двоякопериодические функции от Следует различать два случая, в зависимости от того,

Если то вещественный период равен

а если

то вещественный период равен

Кроме того, в этом частном случае представляет сабой однозначную функцию от как при мнимых, так и при вещественных значениях Однако в общем случае является однозначной функцией от только при вещественных значениях а с другой стороны, обладают вещественным периодом, равным

если больше, чем максимум и

если меньше этого максимума и если разность обращается в нуль при и остается положительной при Добавлю, что в первом случае получает приращение, равное если увеличивается на один период, в то время как во втором случае, т. е. в случае либрации, принимает свое исходное значение, если получает приращение, равное периоду.

В частном случае, рассмотренном в п. 199, двоякопериодическими функциями являются не только но и же касается

то эта функция возрастает на одну и ту же постоянную величину, когда получает приращение, равное периоду.

Точно так же, в общем случае (следовательно, и оказывается периодической функцией от Эта функция так же, как и

зависит помимо прочих аргументов от играющего роль, аналогичную модулю в случае эллиптических функций.

Заметим, прежде чем переходить к дальнейшему, что период этих различных периодических функций от пропорционален

Отсюда следует, что в случае либрации оказываются периодическими функциями Кроме того, зависят от от этих переменной они являются периодическими функциями с периодом

Следовательно, если старые переменные выразить через новые переменные и то станет ясно, что у будут периодическими функциями от Поэтому периодической функцией от у будет и которая периодична с периодом относительно у Период будет равен

по по Для краткости период относительно я буду обозначать через Ясно, что Р зависит от аналогично тому, как период эллиптических функций зависит от модуля, и является функцией модуля.

Если ввести обозначение

откуда

то будет периодической функцией от z; период ее относительно равен Р, а относительно остальных равен Кроме того, будет зависеть от выраженную как функцию от можно разлагать по степеням Первые три члена разложения

не зависят от а являются функциями одних лишь Первое слагаемое представляет собой абсолютную постоянную; по определению есть линейная функция от не зависящая от Наконец,

откуда следует, что представляет собой полином первого порядка относительно остальных

Положим теперь

Тогда уравнения запишутся в виде

Функция так же, как и функция F в п. 125, периодически зависит от переменных второго ряда, которыми в нашем случае являются

Тем не менее существуют два обстоятельства, препятствующие непосредственному применению методов п. 125 к уравнениям (17).

1. Хотя функция периодична относительно однако относительно ее период равен не .

Чтобы обойти эту трудность, достаточно произвести замену переменных. Если положить

то уравнения по-прежнему будут каноническими и запишутся в виде

и теперь уже функция периодическая с периодом относительно

2. Если положить то будет равна зависит не от всех переменных первого ряда, а только от

ибо постоянная равна нулю. Таким образом, мы оказываемся не в условиях п. 125, а в условиях п. 134. Мы сейчас увидим, что выводы, полученные в этом пункте, применимы и в рассматриваемом нами сейчас случае.

В самом деле, в рассматриваемом нами случае функцией, соответствующей функции, обозначенной в п. 134 символом является Нетрудно видеть, что зависит от и, следовательно, от и зависит лишь от переменных первого ряда.

Итак, условия, при которых верна теорема п. 134, выполнены и мы заключаем, что существует функций

зависящих от переменных

произвольных постоянных и удовлетворяющих следующим условиям.

1. При подстановке этих функций в последняя становится константой.

2. Выражение

является полным дифференциалом.

3. Эти функций периодичны с периодом относительно

Итак, будем рассматривать их и как функции от и z. Это позволит нам получить соотношений между этими переменными, затем с помощью уравнений (16), (16bis) и (18) вернемся к старым переменным и у. При этом мы получим соотношений между Разрешая эти соотношения относительно, получимв виде функций от Ясно, что:

1. Если в вместо подставить их выражения через то обратится в постоянную.

2. Выражение

представляет собой полный дифференциал, ибо из уравнений (16), (16bis) и (18) видно, что разность

всегда является полным дифференциалом.

3. Если выразить через то будут периодическими функциями этих переменных; точно так же, если выразить через то полученные при этом функции будут периодическими с периодом относительно

Отсюда следует, что функции определяемые уравнением (20), не отличаются от тех функций, изучением которых мы занимались в п. 205, поскольку для отыскания их мы воспользовались уравнением (2) п. 204 и условием, состоящим в том, что производные должны быть периодическими относительно

Таким образом, две системы уравнений

и

оказываются тождественными при условии, если V удовлетворяет уравнению с частными производными

и условию, состоящему в том, что производные от V должны быть периодичны относительно и функция S определяется так же, как и в п. 205.

Функцию V можно разложить по степеням и записать в виде

Каждую из функций можно записать в виде

где периодическая функция, а постоянных аналогичных постоянным п. 125, можно так же, как и последние, выбирать произвольно. Аналогично

и мы видели, что зависят еще и от произвольных постоянных, обозначенных нами выше

Разумеется, для того чтобы обе системы уравнений (21) и (22) были тождественными, если постоянным приданы вполне определенные значения, необходимо, чтобы постоянным а были приданы соответствующие значения, и наоборот.

Таким образом, каждой функции V соответствует некоторая функция и наоборот.

Однако в предыдущих пунктах на постоянные и, следовательно, на функцию мы наложили некоторые условия — предположения (9) и (10). Если эти предположения требуется сохранить, то постоянные в свою очередь должны удовлетворять определенным условиям, которые нетрудно сформулировать. Скажу только, что должны обращаться в нуль вместе с

Уравнения (21) и (22) позволяют выразить все переменные в виде функций из них. Предположим, что представлены в виде функций от

Пусть

Нетрудно видеть, что функции и периодические с периодом относительно каждой из переменных, от которых они зависят.

Если временно считать постоянными, а координатами точки на плоскости, то можно рассмотреть уравнения

Когда мы изменяем точка описывает некоторую замкнутую кривую, ибо функции принимают свои первоначальные значения, когда получает приращение, равное

Итак, если рассматривать как постоянные, то уравнение

будет уравнением некоторой замкнутой кривой.

Именно к этому результату я и стремился. Однако важно уточнить его смысл. В самом деле, не следует забывать, что сформулированные выше теоремы верны, но только с точки зрения формального анализа.

Функции 0 и допускают разложение по степеням так что мы можем записать

причем все функции периодические с периодом

Правые части уравнений (24) представляют собой ряды, расположенные по степеням однако, вообще говоря, эти ряды не сходятся. Следовательно, уравнения (24) верны лишь с точки зрения формального анализа. Поэтому перепишем эти уравнения заново, обрывая разложения на члене, содержащем Тогда

Очевидно, что уравнения определяют некоторую замкнутую кривую. Предположим, что исключив из этих уравнений мы разрешили их относительно Тогда

зависят от Правая часть равенства (25) представляет собой бесконечный ряд, однако этот ряд сходится, а уравнение (25) является уравнением замкнутой кривой.

В силу принципов формального анализа полученное таким способом значение может отличаться от лишь на величину порядка Следовательно, мы получаем

но мы не получаем

Будет ли теперь кривая

замкнутой?

Обратимся к уравнению (15). Поскольку в случае либрации обращается в нуль при двух различных значениях можно поставить вопрос, не будет ли и, следовательно, обращаться в бесконечность. Это оказывается невозможным, ибо обращается в нуль одновременно с Найдем следующие члены нашего приближенного решения.

Чтобы найти выпишем уравнение, аналогичное уравнению (15)

Будет ли в этом случае производная обращаться в бесконечность?

Правда, в пашем распоряжении имеется постоянная которую можно выбрать так, чтобы производная не обращалась в бесконечность при одном из тех значений при которых обращается в нуль Однако не обращается в нуль при другом значении обращающем в нуль Итак, обращается в бесконечность при любом выборе постоянной

Таким образом, уравнение (26) не задает никакую замкнутую кривую, ибо его правая часть обращается в бесконечность.

Следовательно, когда я говорил выше, что кривая

замкнута, это утверждение само по себе не могло иметь никакого смысла, поскольку ряд S расходится.

Смысл этого утверждения таков.

Оно означает, что всегда можно выбрать функцию Ф, зависящую от и допускающую разложение по степеням и такую, что уравнение

представляет собой уравнение замкнутой кривой.

Простой пример поможет лучше уяснить сказанное. Пусть уравнение кривой имеет вид

Это эллипс. Разложим правую часть по степеням и оборвем разложение, например, на члене Получим

Это уравнение уже не определяет никакой замкнутой кривой, ибо его правая часть при обращается в бесконечность.

Все эти трудности, носящие чисто искусственный характер, можно обойти с помощью замены переменных (16).