Случай либрации

224. Каким образом возникает случай либрации? Рассмотрим уравнение п. 223 и предположим, что

До тех пор, пока мы не дойдем до уравнения, получаемого приравниванием коэффициентов при вычисления происходят так же, как раньше. Мы получаем

Если четно, то уравнение, соответствующее запишется в виде

Если положить для краткости

и временно отбросить индекс функции и индекс , то

где через обозначено для краткости выражение, стоящее под знаком радикала.

Интеграл

эллиптический, второго рода. Один из его периодов равен

Если выбраны так, что всегда положительно, то этот период всегда веществен; мы хотим, чтобы он был постоянной, не зависящей от

Приравняем этот период некоторой постоянной, обозначенной через А, и получим уравнение

Решая это уравнение относительно X, получим

где функция от которую можно считать известной некоторая периодична.

Отсюда получаем

Из этого уравнения находим после чего из уравнения (14) без труда находим

Так мы приходим к обычному случаю.

Однако у и X можно подобрать так, что может принимать и нулевые значения. В этом случае вещественным будет второй период нашего эллиптического интеграла. Приравняв этот период некоторой постоянной, обозначенной через получим уравнение аналогичное уравнению (15). Если решить это уравнение относительно X, получим

или

Отсюда находим поскольку известная периодическая функция. Так мы приходим к случаю либрации.

Предельный случай получим, если один из периодов соответствующего эллиптического интеграла первого рода обращается в бесконечность, в результате чего находят из следующего уравнения:

Недостаток рассмотренного выше метода заключается в том, что выражение, получающееся в обычном случае, не является аналитическим продолжением выражения, получающегося в случае либрации, и наоборот.

Приравняем теперь коэффициенты при

где Ф — известная периодическая функция.

Если, например, рассматривается обычный случай, то интеграл

можно приравнять некоторой не зависящей от постоянной Полагая для краткости найдем

Из этого уравнения находим а затем из уравнения (16) находим

Уравнения, полученные приравниванием коэффициентов при других степенях будут иметь тот же вид, что и уравнение (16). Тот же вид будут иметь и те уравнения, которые получатся, если приравнять коэффициенты при различных степенях в правой и левой частях уравнения (17).

Следовательно, все эти уравнения решаются таким же способом. Если бы было нечетно, то результаты остались без изменений. Несколько другим был бы лишь вид разложения функции а именно:

Таким образом, допускала бы разложение по нечетным степеням

Все результаты, полученные в этой главе, неполны и требуют дополнительных рассмотрений. Они носят лишь предварительный характер.