Разложение решений в ряд по степеням ...

108. Я намерен доказать, что можно разложить в ряд по степеням и что, следовательно, существуют ряды по степеням - которые формально удовлетворяют уравнениям (1). Можно было

бы в этом усомниться; действительно, П — произведение некоторого числа делителей (5) из п. 104. Все эти делители разлагаются в ряды по степеням но некоторые из них, те, для которых равно нулю, обращаются в нуль вместе с Следовательно, может случиться, что П обращается в нуль вместе с и содержит в качестве множителя некоторую степень Тогда, если бы не содержало той же степени в качестве множителя, то хотя отношение разлагалось бы в ряд по возрастающим степеням это разложение начиналось бы с отрицательных степеней.

Я утверждаю, что это не так и что разложение содержит лишь положительные степени

Посмотрим, каким образом эти отрицательные степени исчезают. Положим

и рассмотрим х и у как функции переменных

Прежде чем идти дальше, важно сделать следующее замечание: среди характеристических показателей а два равны нулю, а остальные попарно противоположны. Мы сохраним лишь самое большее этих показателей, полагая равными нулю коэффициенты и переменные соответствующие отброшенным показателям. Мы сохраним лишь те показатели, вещественная часть которых положительна.

Теперь уравнения (1) принимают вид

Попытаемся, исходя из этих уравнений, разложить в ряды по возрастающим степеням так, чтобы коэффициенты были периодическими функциям

Мы можем записать

поскольку мы видели в п. 74, как можно разложить характеристические показатели в ряды по степеням

Напишем, с другой стороны,

где функции периодические по разлагающиеся в ряды по степеням

Если в уравнениях (2) и (3) мы подставим эти значения вместо то левые и правые части этих уравнений будут разложены в ряды по степеням

Приравняем в обеих частях уравнений (2) коэффициенты при а в обеих частях уравнений (3) коэффициенты при получим следующие уравнения

где зависят лишь от

Условимся, как мы уже это делали раньше, через обозначать среднее значение если периодическая функция

Из уравнений (4) мы сможем тогда вывести следующие:

Предположим теперь, что из предварительных вычислений мы уже нашли

Уравнения (5) позволят вычислить последовательно, Уравнения (4) позволят затем определить

так что этот способ даст по индукции все коэффициенты разложений и

Единственная трудность заключается в определении из уравнений (5).

Функции разложены в ряды по возрастающим степеням и мы будем вычислять различные члены этих разложений, начиная с членов наименьшей степени.

Для этого вернемся к обозначениям п. 79, т. е. положим

(для нулевых значений

Тогда если мы обозначим через и коэффициенты при

то для определения этих коэффициентов будем иметь следующие уравнения:

В уравнениях (6) и известные величины, потому что они зависят лишь от

или же от членов разложений степень которых по меньше, чем

Кроме того, для краткости мы полагали

Итак, для вычисления коэффициентов и у нас есть система линейных уравнений. Трудность может возникнуть лишь в том случае, если детерминант этой системы равен нулю. Но этот детерминант равен

Он может обращаться в нуль лишь при

т. е. при

Следовательно, затруднение может встретиться лишь в вычислении членов нулевой и первой степени по

Но нам не надо возвращаться к вычислению этих членов; действительно, мы научились вычислять члены, не зависящие от , в п. 44 и коэффициенты при

в п. 79. В самом деле, члены зависящие от суть не что иное, как ряды (2) из п. 44, а коэффициенты при

— не что иное, как ряды из п. 79.

Мне остается сказать несколько слов о первых приближениях.

Мы придадим постоянные значения, такие же, как в п. 44.

Тогда будем иметь следующие уравнения:

зависящем лишь от эти величины должны быть заменены на величины заменены на на Тогда становится периодической функцией с периодом Т. Мы обозначим через среднее значение этой периодической функции будет тогда периодической функцией с периодом

Два первых уравнения (7) показывают, что зависят лишь от

Приравнивая в двух последних уравнениях (7) средние значения обеих частей, получаем

Уравнения (8) должны служить для определения как функций от Можно ли удовлетворить этим уравнениям, подставляя вместо ряды по степеням Чтобы разобраться в этом, рассмотрим следующие дифференциальные уравнения:

Эти дифференциальные уравнения относительно функций допускают периодическое решение

где обозначение было введено в п. 44.

Характеристические показатели, соответствующие этому периодическому решению, суть в точности величины Мы условились сохранять лишь те из этих величин, вещественная часть которых положительна. Уравнения (9) допускают систему асимптотических решений, и легко -деть, что эти решения представляются в виде рядов по степенями . Тоща эти ряды будут удовлетворять уравнениям (8). Итак, эти уравнения разрешимы.

После того как мы определили таким образом остальные вычисления больше не представляют, как мы уже видели, никакой трудности.

Следовательно, существуют ряды по степеням и формально удовлетворяющие уравнениям (1).

Это доказывает, что разложение в ряд никогда не начинается с отрицательной степени Исследование пунктов 110 и 111 даст нам новое доказательство этого.