Промежуточная орбита
175. Выше мы полагали
где их и 
приближенные значения и и 
Очевидно, выбор этих приближенных значений, в какой-то мере произвольный, имеет черезвычайно важное значение. Если действовать в духе старых методов, то в качестве их и 
необходимо было бы выбирать величины, отвечающие кеплеровскому движению.
Гильден предпочитал получать в первом приближении орбиту, более близкую к истинной. В самом деле, очевидно, что последовательные приближения будут сходиться очень быстро. Кроме того, в п. 133 мы видели, что случай, когда движение в первом приближении является кеплеровским, приводит к особой трудности, которую можно попытаться преодолеть.
Вот как поступал Гильден.
Сначала он предполагал, что 
а величина 
задана в виде функции от 
следующим образом. Возьмем уравнение
Заменим прежде всего производную 
функцией 
, зависящей только от к и мало отличающейся от среднего значения 
вычисленного при условии, что и постоянно, 
изменяется от 0 до 
и, кроме того, и и 
изменяются так, что вторая планета (координатами которой служат 
и 
занимает все возможные положения на своей кеплеровской орбите. Заменим и и 
на 
так, чтобы производная 
была равна
Тогда уравнение запишется в виде
Это уравнение легко интегрируется в квадратурах. Нетрудно дать интерпретацию такого приближенного решения.
Присоединим к уравнению (1) уравнение
Ясно, что если рассматривать некоторое фиктивное небесное тело, которое в момент 
имеет радиус-вектор 
и долготу 
то это тело двигалось бы так же, как если бы его притягивала некоторая неподвижная масса, расположенная в начале координат, причем закон притяжения был бы отличен от закона Ньютона.
Тем не менее это притяжение зависело бы лишь от расстояния, ибо сила притяжения, очевидно, равна
есть не что иное, как расстояние от фиктивного небесного тела до начала координат, т. е. до фиктивной притягивающей массы.
Переменные 
соответствующие одному и тому же значению 
связаны соотношением.
Переменная 
фигурирующая лишь в этой интерпретации, носит название приведенного времени.
Что же касается орбиты, описываемой фиктивным телом, то она называется промежуточной орбитой, ибо расположена между истинной и кеплеровской орбитами.
При
где 
некоторая постоянная, интегрирование уравнения (1) можно провести в эллиптических функциях.
