Прямое вычисление рядов

44. Мы только что показали, что уравнения (1) п. 43 допускают периодические решения и что эти решения могут быть разложены в ряды по степеням

Попытаемся теперь на деле построить эти разложения, существование и сходимость которых мы доказали заранее.

Для начала я замечу, что в вычислении этих разложений можно ввести важное видоизменение. Выше мы ввели три числа

таких, что

кратны и, следовательно, соизмеримы между собой. Эти три числа характеризуют рассматриваемое периодическое решение.

Я утверждаю, что всегда можно при изучении частного периодического решения предполагать, что

Действительно, предположим, что это не так. Мы заменим переменные, положив

Уравнения (с новыми переменными х сохранят каноническую форму.

Если, кроме того, — целые числа и составленный из них определитель равен 1, то функция периодическая по у, будет также периодической по у.

Характеристические числа после замены переменных превратятся в три числа, которые мы обозначим через и которые определяются из уравнений

Так как соизмеримы между собой, то, очевидно, можно выбрать целые числа а, и у так, чтобы

Итак, всегда можно предполагать, что

что мы и будем делать впредь.

Мы попытаемся удовлетворить уравнениям (1) п. 43, положив

где х и у — периодические функции времепи с периодом такие постоянные, что

и, с другой стороны,

откуда

где постоянные, которые мы точнее определим в дальнейшем.

Поскольку начальный момент времени остается произвольным, мы сможем выбрать его так, чтобы при любом . Отсюда следует, что будут равны нулю одновременно при

Вместо х и у подставим в их значения (2), затем разложим по возрастающим степеням как это делалось в п. 22. Получим

и

Далее получим (если вспомнить, что

Вообще

и функция будет зависеть лишь от

Относительно переменных она будет периодической с периодом Теперь мы можем записать дифференциальные уравнения, приравнивая одинаковые степени

Затем находим

и

и вообще

и

Проинтегрируем сначала уравнения (4). В мы заменим их значениями

Тогда правые части уравнений (4) будут периодическими функциями с периодом эти правые части, следовательно, можно разложить в ряды по синусам и косинусам углов, кратных Для того чтобы значения переменных полученные из уравнений (4), были периодическими функциями необходимо и достаточно, чтобы эти ряды не содержали постоянных членов.

Действительно, я могу записать

где положительные или отрицательные целые числа и где функции . Я буду писать для краткости

положив

Тогда я найду

и

Среди членов этого ряда я выделю те, для которых

но которые не зависят от

— периодическая функция . Я буду обозначать через среднее значение этой функции и получу

где суммирование, обозначенное значком распространяется на все члены для которых коэффициент при равен нулю. Мы получим тогда

Значит, если

то поскольку равно нулю, мы получим

Итак, если соотношения (6) удовлетворяются, то ряды не будут содержать постоянных членов и уравнения (4) нам дадут

где новые постоянные интегрирования.

Мне остается показать, что можно выбрать постоянные так, чтобы удовлетворялись соотношения (6). Функция периодическая функция и не изменяющаяся, когда одна из этих переменных увеличивается на Кроме того, она конечна, следовательно, она имеет по меньшей мере один максимум и один минимум. Значит, имеются по меньшей мере два способа выбрать чтобы удовлетворить соотношениям (6).

Я мог бы даже добавить, что имеются по меньшей мере четыре таких способа, хотя и не могу этого утверждать, когда число степеней свободы больше трех [17].

Я постараюсь теперь определить при помощи уравнений (5) три функции и три постоянные

Мы можем считать известными также известны с точностью до постоянных С. Следовательно, я могу записать уравнения (5) в следующем виде:

где представляют собой полностью известные функции, разложенные в ряды по синусам и косинусам углов, кратных Коэффициенты при и С постоянны и их можно считать известными.

Для того чтобы значение полученное из этого уравнения, было периодической функцией необходимо и достаточно, чтобы в правой част постоянный член был равен нулю. Поэтому если означает постоянный член тригонометрического ряда то должны выполняться равенства

Три линейных уравнения (9) определяют три постоянные и С

Исключением будет лишь тот случай, когда определитель этих трех уравнений равен нулю, т. е. когда гессиан по равен нулю. Мы исключим этот случай из рассмотрения.

Уравнения (8) дадут

или

где периодические, полностью известные функции — три новые постоянные интегрирования. Кроме того, из только что записанных уравнений следует, что при .

Перейдем теперь к уравнениям (4), полагая в них и попытаемся определить при помощи трех таким образом полученных уравнений три функции и три постоянные

Легко видеть, что

где зависит только от и, как выше, мы имеем

Уравнения (4) запишутся тогда в виде

или

где периодическая функция которую можно считать полностью известной. Для того чтобы можно было получить из этого уравнения в виде периодической функции, необходимо и достаточно, чтобы правые части уравнений (10), разложенные в тригонометрические ряды, не содержали постоянных членов. Мы должны, следовательно, так распорядиться величинами чтобы уничтожить эти постоянные члены. Таким образом, мы придем к трем линейным уравнениям между тремя величинами но поскольку определитель этих трех уравнений равен нулю, возникает небольшая трудности и поэтому я вынужден остановиться на некоторых деталях.

Мы раньше предполагали, что при поэтому имеем

у нас остается всего две неизвестные величины и три уравнения; но не независимые, как мы это сейчас увидим.

Действительно, обозначим через постоянный член ряда тогда эти три уравнения запишутся (если вспомнить, что знак суммирования S относится к членам, для которых в виде

два последних уравнения системы (11) можно записать в виде

Из этих двух уравнений можно получить и к, если только гессиан по не равен нулю. Если придать полученные таким образом значения, то два последних уравнения (9) нам дадут следующем виде;

где вполне определенные периодические функции а — новые постоянные интегрирования.

Чтобы найти х, мы можем, вместо того чтобы использовать первое из уравнений (10), воспользоваться следующими соображениями: уравнения допускают интеграл

где В — постоянная интегрирования, и я предполагаю, что разложена в ряд по степеням

так что

где различные постоянные.

Левая часть уравнения

зависит от переменных переменных которые являются известными функциями и от величины которую мы еще не вычислили. Поэтому мы можем получить этого уравнетшя в следующем виде:

где вполне определенная периодическая функция постоянная, зависящая от

Мы можем заключить отсюда, что первое из уравнений (11) должно удовлетворяться и, следовательно, эти три уравнения (11) не независимы.

Возьмем теперь уравнения (5) и положим в них Мы получим три уравнения, которые нам позволят определить постоянные С, и

и из которых мы получим, кроме того, в виде

где у — вполне определенные периодические функции а к — три новые постоянные интегрирования.

Вернемся затем снова к уравнениям (4), положив в них к — 3. Если мы положим то сможем найти из полученных уравнений сначала две постоянные а затем в виде

где определенные периодические функции три новые постоянные интегрирования. И так далее.

Вот способ нахождения рядов по степеням , периодических с периодом Т относительно времени и удовлетворяющих уравнениям (1) п. 43. Этот способ будет несостоятельным лишь в том случае, когда гессиан по переменным равен нулю или же когда гессиан по равен нулю.