Вырождающиеся решения
80. Вернемся к уравнениям (1) предыдущего пункта
Мы предположили, что существует периодическое решение с периодом Т
Положив затем
мы составили уравнения в вариациях
Так как эти уравнения имеют в общем случае четыре отличных от нуля характеристических показателя, то у них имеются четыре частных решения вида
где
периодичны. Мы научились составлять эти интегралы.
Но уравнения (2) будут иметь, кроме того, два нулевых характеристических показателя; следовательно, у них будут два частных решения вида
где
периодические функции того же периода, что и
Как нам получить решения (3)?
В п. 42 мы видели, что уравнения (1) допускают периодическое решение
с периодом
сводящееся к
при
Функции
разлагаются в ряды по возрастающим степеням
Положим теперь
откуда
Если мы подставим это значение вместо
в уравнения (4), то получим
Функции
будут также разлагаться в ряды по степеням
но они будут периодическими по и и период будет постоянным и равным
следовательно, они будут разлагаться в ряды по синусам и косинусам углов, кратных
.
Если
любая постоянная, то
— также решение уравнений (1), поскольку время не входит в явном виде в эти уравнения. Это решение содержит две произвольные постоянные,
Пункт 54 дает нам способ вывести отсюда два решения уравнений (2) в вариациях.
Эти решения запишутся в виде
и
После дифференцирования надо положить
Но, как мы видели,
-откуда
и при
С другой стороны,
или при
Искомые решения уравнений (2), следовательно, будут
и
где
Я утверждаю, что функции
, периодические но
с периодом
Действительно,
периодические по и функции с периодом
поскольку этот период не зависит от
производные
будут также периодическими по
. Но
при
поэтому если положить после дифференцирования
то эти четыре производные (5), т. е. четыре функции
будут периодическими по
что и требовалось доказать.
Эти четыре функции будут, как и
производными которых они являются, разлагаться в ряд по возрастающим и положительным степеням
(я напоминаю, что
в предыдущем пункте разлагались в ряд не по степеням
а по степеням
При
сводится к постоянной
следовательно,
обращается в нуль. Следовательно,
делится на
так же, как в предыдущем пункте
делилась на
Напротив,
не делится на
В мемуаре, который я опубликовал в «Acta mathematica» (т. XIII, стр. 157) [201, я пришел к рассмотрению уравнений, аналогичных уравнениям (2), и двух частных решений этих уравнений
Я обозначаю через а один из характеристических показателей, так что а разлагается в ряд по нечетным степеням
а
само разлагается в ряд по степеням
и делится на
Я предполагаю, что
заменено этим значением, так что все наши функции оказываются разложенными в ряды по степеням а. Я утверждаю ватем, что
делятся на а. Действительно, как мы только что видели,
делится на
на
С другой стороны, очевидно, что
поскольку следует умножить на а только что изученное решение
чтобы получить решение, рассмотренное в «Acta mathematica»,
Я счел себя обязанным сделать это замечание, потому что невнимательный читатель мог бы не обратить внимания на этот множитель а и усмотреть противоречие между результатом, сформулированным в «Acta», и тем, что я только что доказал.