Вырождающиеся решения

80. Вернемся к уравнениям (1) предыдущего пункта

Мы предположили, что существует периодическое решение с периодом Т

Положив затем

мы составили уравнения в вариациях

Так как эти уравнения имеют в общем случае четыре отличных от нуля характеристических показателя, то у них имеются четыре частных решения вида

где периодичны. Мы научились составлять эти интегралы.

Но уравнения (2) будут иметь, кроме того, два нулевых характеристических показателя; следовательно, у них будут два частных решения вида

где периодические функции того же периода, что и

Как нам получить решения (3)?

В п. 42 мы видели, что уравнения (1) допускают периодическое решение

с периодом

сводящееся к

при

Функции разлагаются в ряды по возрастающим степеням Положим теперь

откуда

Если мы подставим это значение вместо в уравнения (4), то получим

Функции будут также разлагаться в ряды по степеням но они будут периодическими по и и период будет постоянным и равным следовательно, они будут разлагаться в ряды по синусам и косинусам углов, кратных .

Если любая постоянная, то

— также решение уравнений (1), поскольку время не входит в явном виде в эти уравнения. Это решение содержит две произвольные постоянные,

Пункт 54 дает нам способ вывести отсюда два решения уравнений (2) в вариациях.

Эти решения запишутся в виде

и

После дифференцирования надо положить

Но, как мы видели,

-откуда

и при

С другой стороны,

или при

Искомые решения уравнений (2), следовательно, будут

и

где

Я утверждаю, что функции , периодические но с периодом Действительно, периодические по и функции с периодом поскольку этот период не зависит от производные

будут также периодическими по . Но при поэтому если положить после дифференцирования то эти четыре производные (5), т. е. четыре функции будут периодическими по что и требовалось доказать.

Эти четыре функции будут, как и производными которых они являются, разлагаться в ряд по возрастающим и положительным степеням (я напоминаю, что в предыдущем пункте разлагались в ряд не по степеням а по степеням

При сводится к постоянной следовательно, обращается в нуль. Следовательно, делится на так же, как в предыдущем пункте делилась на

Напротив, не делится на

В мемуаре, который я опубликовал в «Acta mathematica» (т. XIII, стр. 157) [201, я пришел к рассмотрению уравнений, аналогичных уравнениям (2), и двух частных решений этих уравнений

Я обозначаю через а один из характеристических показателей, так что а разлагается в ряд по нечетным степеням а само разлагается в ряд по степеням и делится на

Я предполагаю, что заменено этим значением, так что все наши функции оказываются разложенными в ряды по степеням а. Я утверждаю ватем, что делятся на а. Действительно, как мы только что видели, делится на на

С другой стороны, очевидно, что

поскольку следует умножить на а только что изученное решение

чтобы получить решение, рассмотренное в «Acta mathematica»,

Я счел себя обязанным сделать это замечание, потому что невнимательный читатель мог бы не обратить внимания на этот множитель а и усмотреть противоречие между результатом, сформулированным в «Acta», и тем, что я только что доказал.