Устранение трудности

144. Чтобы лучше понять, каким образом можно преодолеть ту трудность, о которой я только что говорил, обратимся еще раз к весьма простому примеру из п. 142.

Введем обозначения

Канонические уравнения в этих обозначениях примут вид

Очевидно, что эта система уравнений очень легко интегрируется, ибо два последних ее уравнения линейны. Заметив, что сразу же получим

где

а — две произвольные постоянные.

Для отыскания Л нужно еще взять квадратуру, что выполняется без труда. В самом деле, мы получаем

где новая константа интегрирования.

Замечательное частное решение отвечает случаю, когда и у равны нулю. В этом случае

откуда

Если проводить сравнение с задачей трех тел, то можно было бы сказать, что частное решение (3) является аналогом периодических решений первого сорта, определенных в главе III.

Из уравнений (2) получаем

Если рассматривать х и у как координаты некоторой точки на плоскости, то это уравнение будет уравнением окружности с центром в точке

которая соответствует периодическому решению (3). Эта точка лежит вблизи от начала координат, ибо параметр а следовательно, и а мал. Тем не менее эта точка не совпадает с началом координат, и если (3 и у достаточно малы, то радиус этой окружности мал и поэтому начало координат может оказаться расположенным даже вне ее.

Если мы перейдем к полярным координатам

то уравнение этой окружности запишется в виде

Сравним это уравнение с тем, которое можно легко получить из уравнения (2) п. 142

и из которого мы в том же п. 142 находим Напомним, что

Мы видим, что оба эти уравнения совпадают, если положить

Следовательно, константа совпадает с той, которую мы ранее обозначали символом V и считали имеющей порядок квадрата эксцентриситетов. Итак, радиус окружности, равный имеет порядок эксцентриситетов. Если его порядок совпадает с порядком а, т. е. с порядком то начало координат может оказаться вне указанной окружности.

Итак, можно сказать, что трудность, с которой мы столкнулись в и на которую я особо обращал внимание, обусловлена тем, что мы воспользовались полярными координатами и плохо выбрали их полюс. Это начало следует выбирать в центре окружности, т. е. в точке, соответствующей периодическому решению.

Перенесем начало координат, положив

Чтобы сохранить канонический вид уравнений, мы должны теперь ввести новую переменную Л, такую, что

Тогда сопряженными переменными будут

Функция по предположению была равна

В новых переменных она имеет вид

Последние два слагаемых являются константами и не играют никакой роли, потому что их можно включить в константу С. Тогда наши дифференциальные уравнения запишутся в виде

а соответствующее уравнение с частными производными — в виде

Если теперь перейти к полярным координатам, положив

то

и уравнение с частными производными примет следующий вид:

Ввиду простоты подобранного мною примера преобразованное таким образом уравнение тотчас же интегрируется. Для меня особенно важно, что члены, которые были аналогичны члену с в уравнении (2) п. 142 исчезли. А ведь именно в этих членах и коренилась вся трудность.

145. Попытаемся теперь применить тот же метод к задаче трех тел и прежде всего к плоскому случаю.

Сначала мы выберем в качестве переменных

затем

затем

И наконец

Сравним эти переменные. Оставляя в стороне две первые пары сопряженных переменных, т. е. и сопряженные с ними, рассмотрим пока лишь две последние пары.

Можно сказать, что переменные (1) и (2) аналогичны прямоугольным координатам, а переменные (3) и (4) — полярным координатам.

Трудность, на которую мы обращали внимание в , была, как мы видели, обусловлена наличием членов степени 1/2 относительно В свою очередь эти члены получались из членов первого порядка относительно и членов первого порядка по

Если бы функция не содержала подобных членов, то указанная выше трудность нам бы не встретилась.

Но поскольку эта трудность вполне аналогична той, на которую мы указали в п. 142 и которую нам удалось преодолеть в п. 144, можно попытаться достичь желаемого результата с помощью тех же средств, т. е. с помощью преобразования, аналогичного сдвигу начала координат. Необходимо произвести замену переменных на другие переменные, которые обращаются в нуль для периодических решений первого сорта, рассмотренных в , поскольку эти решения аналогичны периодическим решениям (3) предыдущего пункта.

В силу сказанного рассмотрим периодические решения . Мы уже видели, что в случае периодических решений первого сорта величины

являются периодическими функциями времени и что то же относится и к .

Переменные (5) можно также рассматривать как периодические функции от к зависящие, кроме того, от двух произвольных постоянных, которые я буду обозначать

Итак, пусть

— те уравнения, которым удовлетворяют эти периодические решения: функции, зависящие от периодические по к и Эти функции имеют следующий вид: зависят только от А, и а остальные функции представляются в виде

где зависят лишь от .

Отсюда нетрудно получить следующее тождество:

и из соображений симметрии

Установив это, возьмем вспомогательную функцию

где является функцией, зависящей от которую мы определим несколько дальше. Тогда S будет зависеть от

Если теперь мы введем обозначения

и примем в качестве новых переменных

вместо

то каноническая форма уравнений не изменится. Мы получим уравнения

Если положить

то будут соответственно равны . Я хочу, чтобы в свою очередь были равны . Для этого введем условия

Эти два уравнения совместны и определяют 50, поскольку задаваемые ими значения производных функции удовлетворяют условию интегрируемости

Но это условие можно записать и в виде

Если учесть уравнения (6) и заметить, что зависят лишь от , то получим

Это означает, что для периодического решения

т. е.

Но это равенство является не чем иным, как интегралом площадей, оно поэтому выполняется.

Итак, функция определяемая уравнениями (8), существует. Ее производные периодичны по . Средние значения этих двух периодических функций зависят только от двух констант Поскольку мы не делали никаких предположений о выборе этих двух констант, можно считать, что средние значения в точности равны

Тогда получим

функция, периодическая по .

Функция S разлагается по возрастающим степеням и при обращается в

Чтобы выполнить то преобразование, о котором мы говорили, попытаемся старые переменные выразить как функции новых переменных с помощью уравнений (7). Прежде всего получим

затем два первых уравнения (7)

В эти два уравнения я подставлю вместо их выражения (9), после чего эти уравнения можно записать в виде

Функции зависят от следующим образом:

1) они разлагаются по степеням

2) они периодичны по X и

3) они линейно зависят от

С помощью принципов, изложенных в главе II, к которым мы уже часто прибегали, из этих уравнений можно вывести, что

где функции, зависящие от и величин, обозначенных теми же буквами, но со штрихами. Эти функции:

1) допускают разложение по степеням

2) периодичны по .

Подставим в уравнения (9) выражения, полученные для А, и Мы получим как функции новых переменных. Замечу, что полученные таким образом выражения для разлагаются по степеням и периодичны по кроме того, при значения равны и

Если теперь в обоих уравнениях

вместо подставить их выражения в виде функций от новых переменных, то запишутся в виде функций от периодических по и и допускающих разложение по степеням эти функции равны

Что произойдет с функцией после перехода к новым переменным? Ясно, что можно будет по-прежнему разлагать по степеням и, как и прежде, она будет периодична по

Пусть

— разложение функции по степеням , записанное в старых переменных, и пусть точно так же

— разложение функции записанное в новых переменных.

Сразу же ясно, что для того, чтобы получить достаточно в подставить вместо величины

Вычислим

Пусть означает функцию, которая получится, если заменить в каждую старую переменную соответствующей новой переменной, т. е. заменить на на и т. д.

Пусть

— разложения по степеням Очевидно, что

Вычислим Нетрудно найти

Следовательно, для того чтобы получить необходимо в выражении

положить и, следовательно, Таким образом, (и точно так же оказывается периодической функцией от линейной по а ее среднее значение (относительно и не зависит ни от ни от

Итак, периодична по и А. Пусть ее среднее значение, среднее значение функции мы получим, заменив в каждую старую переменную соответствующей новой переменной, отличается лишь на некоторую величину, не зависящую от и

В главе X мы видели, какую важную роль при изучении вековых возмущений элементов орбиты играют уравнения

После замены переменных, которую мы только что произвели, эти уравнения заменятся следующими:

Однако, как мы только что видели, эти две системы уравнений тождественны между собой и вторая отличается от первой лишь тем, что содержит штрихованные переменные.

До сих пор нам казалось, что производимое преобразование хорошо лишь тем, что не изменяет вида уравнений. Сейчас я достиг, наконец, такого момента, когда могу наглядно показать и другие его достоинства.

Рассмотрим прежде всего, во что переходят уравнения, которым удовлетворяют периодические решения первого сорта, если эти уравнения записать в новых переменных. Благодаря выбору вспомогательной функции S их можно записать в виде

Наконец, будут функциями, определяемыми значением времени, двумя константами и двумя новыми произвольными постоянными.

Рассмотрение того, каким образом и зависят от этих двух констант, которые я обозначу символами хотя и не является необходимым для наших целей, может представить некоторый интерес. Имеем

где две функции, зависящие от которые возрастают на некоторую константу и ту же для зависящую также от при условии, если аргумент получает приращение, равное некоторой константе у зависящей от Вторая из этих двух констант у является периодом рассмотренного нами периодического решения, а первая константа представляет собой угол, на который поворачивается система трех тел в течение одного периода.

Из всего сказанного я хочу оставить в памяти лишь одно: если равны нулю в начальный момент времени, то периодическое решение первого сорта и его четыре переменные будут равны нулю всегда.

Однако у нас имеются дифференциальные уравнения

Следовательно, необходимо, чтобы четыре производные

одновременно обращались в нуль, если одновременно равны нулю четыре переменные

т. е. функция не должна содержать членов первого порядка относительно этих четырех переменных.

Итак, функция будучи выражена через новые переменные, имеет тот же вид, что и в старых переменных, с той лишь разницей, что она не содержит членов первого порядка относительно в то время как члены первого порядка относительно четырех соответствующих старых переменных она содержала. Но именно эти члены и создавали всю трудность задачи, эта трудность, следовательно, исчезла вместе с ними.

То же останется в силе и в том случае, если вместо плоской задачи трех тел рассматривать пространственную задачу.

В самом деле, если в качестве переменных выбрать

то функция не будет содержать члена первого порядка относительно