Частный случай задачи трех тел
9. Возвратимся к тому частному случаю задачи трех тел, о котором мы говорили выше.
Две массы, одна равная 
а вторая 
описывают две концентрические окружности вокруг их общего центра тяжести, предполагаемого неподвижным. Постоянное расстояние между этими массами взято за единицу длины, так что радиусы двух окружностей соответственно равны 
а среднее движение равно единице.
Предположим теперь, что в плоскости этих двух окружностей движется третья масса, бесконечно малая и притягиваемая двумя первыми.
Мы возьмем за начало координат О общий центр окружностей и отнесем положение третьей массы к прямоугольной системе двух неподвижных осей 
или же к системе двух подвижных осей и 
определенной как в п. 2. Так как среднее движение двух первых масс равно 1, мы
можем предположить, что угол между 
е. долгота массы 
равен 
Так как мы предположили, что постоянная Гаусса равна 1, силовая функция сводится к
где 
— бесконечно малая масса третьего тела, 
— расстояние между телами 
— расстояние между телом 
и телом массы 
так что
Уравнение живых сил запишется тогда в виде
Условимся обозначать через — 
левую часть этого уравнения, где 
— функция от 
и 
тогда уравнения движения запишутся в виде
Заменим переменные 
их значениями в виде функций от кеплеровских переменных 
так, как это было описано в предыдущем пункте. Тогда 
станет функцией 
и 
и уравнения движения примут вид
Эти уравнения уже имели бы канонический вид, если бы 
зависело лишь от четырех кеплеровских переменных, но 
также является функцией 
следовательно, надо преобразовать эти уравнения таким образом, чтобы время не входило в них в явном виде. Для этого посмотрим, как 
зависит от 
Легко видеть, что 
можно рассматривать как функцию 
Действительно, если увеличить 
и 
на одну и ту же величину, не изменяя остальных переменных, то ни 
ни 
ни, следовательно, 
не изменятся.
Из этого вытекает, что
Тогда, если мы положим
то 
будет зависеть лишь от 
и уравнения движения, которые запишутся в виде
будут каноническими.
Именно в такой форме мы обычно будем записывать уравнения этой задачи.
Если предположить, что масса 
равна нулю, то масса 
станет равной единице и переместится в начало координат; 
сведется к 
силовая функция V сведется к 
Тогда мы найдем, что
и
Когда масса 
не равна нулю, сразу видно, что 
можно разложить в ряд по возрастающим степеням 
что позволит нам написать
Мы видим также, что
и не зависит от 
Более того, будет зависеть от всех четырех переменных, но эта функция будет периодической по 
и не изменится, когда любая из этих переменных возрастет на 
Заметим, наконец, что если 
эксцентриситет равен нулю, движение прямое и 
зависит только от 
Если же 
то эксцентриситет равен нулю, но движение тогда обратное и 
зависит теперь лишь от 
