Изложение метода

125. Рассмотрим еще раз уравнения, указанные в п. 13 [32]

Задача состоит в том, чтобы формально удовлетворить уравнениям (1) с помощью рядов, имеющих следующий вид:

где сами величины имеют вид

Коэффициенты не зависят от параметра и времени но могут зависеть от некоторого числа постоянных интегрирования, величины представляют собой коэффициенты, зависящие от и допускающие разложение по степеням этого параметра.

Когда я говорю, что ряды (2) формально удовлетворяют уравнениям (1), я подразумеваю под этим следующее.

Подставим в уравнения (1) ряды (2), оборванные на члене, т. е.

Я буду говорить, что ряды (2) формально удовлетворяют уравнениям (1), если в результате этой подстановки разность между правыми и левыми частями этих уравнений будет делиться на

Чтобы найти ряды (2), воспользуемся методом, полностью отличным от того метода, которым пользовался Линдштедт.

Попытаемся построить ряд, имеющий вид

(страница пропущена)

Коэффициенты этого полинома являются периодическими функциями от по у равен

Я утверждаю, что функцию можно найти из уравнения (6), причем так, что производные будут периодическими функциями по у с периодом

В самом деле, предположим, что это верно для производных от по у.

Тогда будет периодической функцией от и я могу записать, что

Числа целые, в то время как коэффициенты постоянны и не зависят от у.

Функцию можно представить в виде

Величины являются константами, которые можно выбирать произвольно, лишь бы они удовлетворяли условию

и слагаемое было произвольным.

Этот метод оказывается несостоятельным, если найдутся целые числа такие, что

Мы предполагаем, что этот случай не имеет места.

Следует заметить, что определенные таким образом функции содержат произвольные постоянные. Они зависят прежде всего от

затем от

затем от

затем от

Мы хотим оставить произвольными лишь констант. Этими произвольными постоянными будем считать а величины выберем каким-нибудь произвольным образом и зафиксируем их. Например, можно выбрать так, чтобы

но я предпочитаю полагать все равными нулю. В этом случае константы уже не равны нулю. Вообще говоря, они так же, как и зависят от

Условившись об этом, положим

Пусть

Если мы произведем замену переменных, выбрав в качестве новых переменных вместо х, и у, [новые переменные связаны со старыми соотношениями (7)], то теорема из п. 4 будет означать, что уравнения по-прежнему будут иметь канонический вид, и мы получим

Посмотрим теперь, какой вид будет иметь функция если ее выразить через новые переменные По предположению ряд S формально удовлетворяет уравнению (4). Это означает, что

Функция зависит от и и может быть разложена по степеням Что же касается величин то мы видели, что они зависят от

Положим

Тогда при величина будет равна п°.

Отсюда

Если пренебречь величинами порядка то из этих уравнений следует

На языке главы VIII этот результат означает, что теорема Якоби, приведенная в п. 3, применима и в формальном исчислении.

Положим

Мы получим при этом ряд, расположенный по степеням который может расходиться. Однако это обстоятельство не имеет для нас особого значения, поскольку мы стоим на точке зрения, изложенной в предыдущей главе, т.е. на формальной.

Положим затем

Величины можно считать постоянными интегрирования. Рассмотрим уравнения

Величины и у, можно найти из уравнений (8) в виде ряда, расположенного по степеням коэффициенты которого зависят от Несущественно, между прочим, будут ли эти ряды сходящимися или расходящимися.

Если в эти ряды вместо подставить и считать постоянными, то они будут формально удовлетворять уравнениям (1). Пусть этими рядами будут ряды

Посмотрим, какой вид имеют коэффициенты При ряд S сводится к сумме

и, следовательно, в этом случае

Итак, первый член разложения представляет собой константу, а первый член разложения (т. е. равен выражению

Если вместо того, чтобы выражать из уравнений (8), мы нашли эти величины из уравнений (7), то первые члены остались теми же, поскольку разность имеет порядок

Чтобы найти величины

рассмотрим уравнения (7), которые запишем в следующем виде:

Мы можем найти из уравнений в виде рядов, расположенных по степеням и сходящихся, если параметр достаточно мал. Для этого достаточно применить теорему, изложенную в п. 30, поскольку разность — представляет собой вполне определенную функцию, а не только формальное выражение.

Мы предположили, что величины равны нулю; отсюда вытекает, что и, следовательно, являются периодическими функциями с периодом по Значит, если в уравнениях произвести замену на на целые), то эти уравнения не изменятся. Следовательно, найденные из этих уравнений величины и будут периодическими с периодом относительно

Итак, величины в рядах (2) представляют собой периодические функции с периодом относительно