Замечательные замены переменных

5. За исключением одного особого случая, все замены переменных, которые не нарушают канонической формы, могут быть выведены по методу п. 4. Бывают, однако, случаи, когда проще действовать иным способом. Мы дадим два таких примера.

Предположим, что имеются канонические уравнения

и сделана следующая замена переменных:

Как нужно выбрать константы , чтобы уравнения оставались каноническими, когда за новые переменные берутся

Если мы обозначим через

виртуальные приращения переменных умножим уравнения (1) соответственно на и —и затем просуммируем, то получим

Чтобы уравнения оставались каноническими после подстановки (2), необходимо и достаточно, чтобы тождественно выполнялось равенство

Так как зависят лишь от от от то должны тождественно выполняться равенства

Так как соотношения (2) линейные, то связаны с теми же соотношениями, которые связывают То же самое справедливо для

Соотношения (4) сохранятся, следовательно, когда в них будут заменены на на на и т. д. Итак, получим

Обратное тоже верно: из соотношения (5) следуют соотношения (3) и (4).

Итак, необходимым и достаточным условием того, чтобы уравнения оставались каноническими, является тождество

Каково теперь условие того, чтобы эти уравнения оставались каноническими и в то же время имело место соотношение

Я назову линейную замену переменных, такую, как (2), ортогональной, если справедливо тождество

т. е. если

Это название оправдано само по себе, так как в случае, когда число переменных равно двум или трем и когда х или х можно рассматривать как

координаты точки в плоскости или в пространстве, подобная подстановка является не чем иным, как прямоугольной заменой координат.

Итак, если мы применим к переменным одну и ту же ортогональную подстановку, то получим

откуда

Уравнения останутся каноническими.

6. Уравнения также останутся каноническими, если произвести, например, только замену переменных и положить при этом

взяв за новые переменные вместо . Я утверждаю, что уравнения останутся каноническими, если только функциональный определитель, или якобиан, по равен 1. Так, если положить

то каноническая форма уравнений не будет нарушена и переменные и будут сопряженными, как и

7. Выше мы определили замену переменных

которая не нарушает канонической формы уравнений, когда S — какая угодно функция от и Эта форма также не нарушается, если переставить и в то же время заменить на

Следовательно, если S — некоторая функция переменных

и если положить

то каноническая форма уравнений не будет нарушена, когда за новые переменные мы возьмем и в то же время заменим на

Она также не будет нарушена, если заменить

где k — некоторая константа.

Итак, рассмотрим опять функцию S переменных и и положим

каноническая форма уравнений сохранится, если за новые переменные взять и заменить в то же время на