Главная > А.Пуанкаре Избранные труды в трех томах. Т.1
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
440
441
442
443
444
445
446
447
448
449
450
451
452
453
454
455
456
457
458
459
460
461
462
463
464
465
466
467
468
469
470
471
472
473
474
475
476
477
478
479
480
481
482
483
484
485
486
487
488
489
490
491
492
493
494
495
496
497
498
499
500
501
502
503
504
505
506
507
508
509
510
511
512
513
514
515
516
517
518
519
520
521
522
523
524
525
526
527
528
529
530
531
532
533
534
535
536
537
538
539
540
541
542
543
544
545
546
547
548
549
550
551
552
553
554
555
556
557
558
559
560
561
562
563
564
565
566
567
568
569
570
571
572
573
574
575
576
577
578
579
580
581
582
583
584
585
586
587
588
589
590
591
592
593
594
595
596
597
598
599
600
601
602
603
604
605
606
607
608
609
610
611
612
613
614
615
616
617
618
619
620
621
622
623
624
625
626
627
628
629
630
631
632
633
634
635
636
637
638
639
640
641
642
643
644
645
646
647
648
649
650
651
652
653
654
655
656
657
658
659
660
661
662
663
664
665
666
667
668
669
670
671
672
673
674
675
676
677
678
679
680
681
682
683
684
685
686
687
688
689
690
691
692
693
694
695
696
697
698
699
700
701
702
703
704
705
706
707
708
709
710
711
712
713
714
715
716
717
718
719
720
721
722
723
724
725
726
727
728
729
730
731
732
733
734
735
736
737
738
739
740
741
742
743
744
745
746
747
748
749
750
751
752
753
754
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

Исследования Хилла по теории Луны

41. Имеется частный случай, когда решения первого сорта упрощаются. Это тот случай, когда одна из масс, например масса бесконечно мала.

Поскольку движение С относительно А остается тогда кеплеровым, симметричное соединение может произойти, лишь когда С проходит перигелий или афелий, если только движение С не круговое. Но долгота симметричного соединения должна тогда отличаться от долготы симметричного противостояния, которое за ним немедленно следует, на угол, кратный . Однако так может быть, только если целое, а это как раз тот случай, который мы исключили. Следовательно, мы должны заключить, что движение С является круговым.

Положение еще больше упрощается, если предположить, что масса С намного больше массы А и что расстояние очень велико (что как раз имеет место в теории Луны). Если мы предположим бесконечно большим и массу С бесконечно большой, так, чтобы угловая скорость С на ее орбите оставалась конечной; если в то же время отнести массу В к двум подвижным осям, а именно к оси Асовпадающей с и оси перпендикулярной первой, то уравнения движения, как было показано Хиллом, примут вид

где угловая скорость С.

Периодические решения первого сорта все еще существуют в этом случае и являются теми решениями, существование которых первым установил Хилл, как я уже заметил выше.

Они допускают симметричные соединения и противостояния, которые могут иметь место лишь на оси Но они также допускают другие весьма важные конфигурации, которые можно было бы назвать симметричными квадратурами; в этих конфигурациях угол прямой и скорость точки В относительно точки А перпендикулярна В А.

Действительно, уравнения столь симметричны, что они не изменяются при замене на Периодические решения, следовательно, не должны изменяться при замене на Следовательно, если рассматривать относительную траекторию точки В по отношению к системе подвижных осей то эта траектория является замкнутой кривой (поскольку решение периодическое), которая симметрична одновременно и относительно и относительно

Если, наоборот, предполагая движение С круговым и беря за ось прямую не предполагать расстояние бесконечным (если, другими словами, в теории Луны учитывать параллакс Солнца, продолжая пренебрегать наклонением орбит и экцентриситетом Солнца), то эта относительная траектория была бы замкнутой кривой, симметричной относительно оси но она не была бы симметричной относительно оси

Уравнения (1) имеют интеграл, который записывается в виде

Хилл изучил, как изменяются решения первого сорта при увеличении он установил, что относительная траектория является замкнутой симметричной кривой, форма которой напоминает в грубом приближении форму эллипса, большой осью которого является ось Когда С очень мало, эллипс подобного рода очень мало отличается от окружности и его эксцентриситет быстро растет вместе с С. Для больших значений С кривая начинает сильно отличаться от эллипса, но отношение большой оси к малой продолжает расти вместе с наконец, для некоторого значения С, которое я буду называть , кривая будет иметь две точки возврата, расположенные на оси Это то, что Хилл называет орбитой «Луны наибольшей лунации» (Moon of maximum lunation). Его вычисления, основанные то на использовании рядов, то на использовании механических квадратур, слишком длинны, чтобы приводить их здесь; я замечу только, что Хилл точно построил кривую для различных значений С, в частности для случая Не может быть ни малейшей тени сомнения по поводу точности его результатов.

Нетрудно отдать себе отчет в значении этих точек возврата, Я предполагаю, что в некоторый момент скорость массы В по отношению к

подвижным осям станет равной нулю, так что одновременно

ясно, что относительная траектория будет иметь точку возврата. Именно это происходит в случае «Луны наибольшей лупации» Хилла. Хилл говорит далее следующее:

«The moon of the last line (т. e.

«Луна наибольшей лунации») s, of the class of satellites considered in this Chapter, that which, having the longest lunation, is still able to appear at all angles with the Sun and then undergo all possible phases. Whether this class of satellites is properly to be prolonged beyond this Moon, can only be decided by further employment of mechanical quadratures. But it is at least certain that the orbits, if they do exist, do not intersect the line of quadratures and that the Moons describing them would make oscillations to and for, never departing as much as 90° from the points of conjunction or of opposition».

Со стороны автора это всего лишь простая интуиция, не основанная ни на каком рассуждении или вычислении. Простые рассмотрения аналитического продолжения позволяют мне утверждать, что эта интуиция его обманула [16].

Можно прежде всего задать вопрос, существуют ли периодические решения первого сорта при другими словами, может ли класс спутников, изученный Хиллом, быть продолжен за орбиту «Луны наибольшей лунации»?

Предположим с этой целью, что в начальный момент времени масса В (т. е. Луна) находится в квадратуре (на оси и что ее скорость относительно подвижных осей перпендикулярна к оси

Я обозначу через начальные значения переменных . В случае хилловой «Луны наибольшей лунации» имеем

и я обозначу через соответствующее значение

По истечении времени Т, равного четверти периода, эта Луна будет находиться в симметричном соединении и будут выполняться равенства

Рассмотрим теперь другое частное решение наших дифференциальных уравнений и пусть

— начальные значения

так что в начальный момент времени имеет место симметричная квадратура. Рассмотрим значения по истечении времени и пусть

будут разлагаться в ряд по степеням и обратятся в нуль при

Если

то по истечении времени произойдет симметричное соединение и решение будет, периодическим с периодом

Из уравнений (2) можно выразить в виде функций от будут разлагаться в ряд по степеням

В силу п. 30 исключением будет лишь тот случай, когда функциональный определитель по обращается в нуль в точности при

Представляется крайне невероятным, чтобы дело обстояло так; однако могли бы еще оставаться некоторые сомнения, если бы механические квадратуры Хилла не доказывали обратное. В самом деле, вот как Хилл действовал, чтобы определить Он вычислил для различных значений Т и функции

а затем определил с помощью интерполяции то значения при которых эти функции обращаются в нуль. Если бы функциональный определитель обращался в нуль в точности для этих значений, обычная интерполяция была бы невозможной. Следовательно, мы должны заключить, что открытый Хиллом класс спутников может быть продолжен за пределы «Луны наибольшей лунации».

Какой же становится за пределами этой Луны форма орбиты? Величины зависят от времени и параметра так как другое начальное значение задано как функция от в силу уравнений (2).

Если достаточно малы, могут быть разложены в ряд по степеням этих двух переменных. Более того, из соображений симметрии будет содержать лишь нечетные степени будет содержать лишь четные степени Следовательно,

где начальное значение производной

Если достаточно малы, я могу без ощутимой погрешности ограничить ряд его двумя первыми членами; кроме того, разлагается в ряд по возрастающим степеням но так как очень мало, я могу ограничиться вначением которое эта величина принимает при Но при имеем

отсюда следует

Для рассмотренных Хиллом Лун, у которых «лунации» меньше, чем у «Луны наибольшей лунации», величина отрицательна, оба члена правой части (3) одного и того же знака и не может обращаться в нуль при весьма малых значениях за исключением значения .

Рис. 1

Напротив, для новых спутников, о которых идет речь и которые встречаются за орбитой «Луны наибольшей лунации», положительно, а обращается в нуль при

Следовательно, имеются три очень малых значения при которых обращается в нуль, т. е. три квадратуры в очень близкие моменты времени.

Итак, относительная траектория при имеет форму, представленную на рис. 1.

В течение одного периода масса В находится шесть раз в квадратуре, так как ее относительная траектория пересекает ось в двух двойных точках и двух простых.

Таким образом, Хилл ошибается, полагая, что этот род спутников никогда не находится в квадратуре; имеются, напротив, три квадратуры между двумя последовательными сизигиями.

Это не значит, что не существует периодических решений, при которых масса В никогда не может быть в квадратуре: мы их изучим в дальнейшем, в п. 52; но эти решения не являются аналитическим продолжением тех, основополагающее исследование которых проделал Хилл в «American Journal of Mathematics».

Те же результаты остаются справедливыми, если не пренебрегать параллаксом Солнца, за исключением того, что симметрия относительно оси исчезает.

1
Оглавление
email@scask.ru