Различные замечания

188. Некоторые результаты в рассматриваемом нами частном случае можно было бы получить, не обращаясь к теореме Адамара.

Действительно, прежде всего заметим, что основное неравенство (а) выполняется даже в том случае, если мнимые, если только

Если воспользоваться известным разложением

то

откуда

Неравенство (а) выполняется при любых если х и у вещественны.

Мы знаем, что отношение

стремится к , если х, оставаясь вещественным, неограниченно возрастает. Из этого следует, что можно найти такое постоянное число В, что

Из этого неравенства вытекает

откуда

Рассмотрим теперь отношение

Числитель обращается в нуль всякий раз, когда в нуль обращается знаменатель. Отсюда следует, что это отношение является целой функцией как относительно z, так и относительно

Поскольку это отношение есть периодическая функция от z, всегда можно предположить, что вещественная часть z заключена между Устремим мнимую часть к бесконечности и посмотрим, как ведет себя наше отношение

Первый сомножитель в правой части ограничен сверху абсолютным значением второй сомножитель стремится к 1/2. Следовательно, отношение остается конечным. Итак, мы имеем целую функцию от z, ограниченную некоторой константой. В силу известной теоремы эта функция должна быть постоянной, не зависящей от z.

Чтобы доказать, что эта функция, кроме того, не зависит от необходимо обратиться к теоремз Адамара.