Использование тригонометрических рядов

29. Для интегрирования дифференциальных уравнений можно применять не только степенные ряды, пользуются также тригонометрическими рядами. Я хочу здесь сказать о них несколько слов, прежде чем приступить к уравнениям в частных производных.

Известно, что периодическая функция от х периода разлагается в ряд следующего вида:

Я показал в Астрономическом бюллетене (ноябрь 1886) [8], что еслвг функция конечна и непрерывна вместе со своими производными и если ее производная ограничена, но имеет конечное число точек разрыва, то можно найти положительное число К, такое, что как бы велико ни было

Если аналитическая функция, она будет конечной и непрерывной со всеми своими производными. Следовательно, можно найти число такое, что

Отсюда следует, что ряд

сходится и, следовательно, ряд (1) абсолютно и равномерно сходится.

Установив это, рассмотрим систему линейных дифференциальных уравнений

В этой системе коэффициентов являются периодическими функциями с периодом Следовательно, уравнения (2) не изменяются, если заменить на

Пусть теперь

линейно независимых решений уравнений (2). Уравнения не изменяются, если заменить на решений принимают вид

Следовательно, они должны быть линейными комбинациями решений (3), так что

где — постоянные коэффициенты.

Кроме того, получим так же (с теми же коэффициентами)

Теперь образуем уравнение относительно S

Пусть один из корней этого уравнения. В силу теории линейных подстановок всегда существуют постоянных коэффициентов

таких, что если положить

а также

то

а также

Положим

Тогда

Это уравнение показывает, что

является периодической функцией, которую мы можем разложить в тригонометрический ряд

Если периодические функции аналитические, таковы же будут решения дифференциальных уравнений (2) и функция Ряд будет, следовательно, сходиться равномерно и абсолютно.

Также

— периодическая функция, которую можно представить тригонометрическим рядом

Итак, имеется частное решение уравнений (2), которое записывается в виде

Каждому корню уравнения (5) соответствует решение вида (6).

Если все корни уравнения (5) различны, имеются линейно независимых решений этого вида и общее решение будет

Здесь С — постоянные интегрирования, а — постоянные и X — абсолютно и равномерно сходящиеся тригонометрические ряды.

Теперь посмотрим, что происходит, когда уравнение (5) имеет двойной корень, например, когда Вернемся к формуле (7). Положим в ней

и заставим стремиться к Получим

или, положив

получим

Ясно, что разность

обратится в нуль при Следовательно, мы можем положить

Таким образом получим

и в пределе (при

Можно убедиться, что предел к при также является равномерно и абсолютно сходящимся тригонометрическим рядом.

Итак, следствием наличия двойного корня уравнения (5) было появление в решении членов вида

где тригонометрический ряд.

Легко видеть, что тройной корень приведет к появлению членов вида

Я не останавливаюсь на всех этих деталях. Эти результаты хорошо известны из работ Флоке, Калландро, Брунса, Стилтьеса, и если я и привел здесь доказательство in extenso для общего случая, то только потому, что его крайняя простота позволила это сделать в нескольких словах.