Главная > А.Пуанкаре Избранные труды в трех томах. Т.1
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
440
441
442
443
444
445
446
447
448
449
450
451
452
453
454
455
456
457
458
459
460
461
462
463
464
465
466
467
468
469
470
471
472
473
474
475
476
477
478
479
480
481
482
483
484
485
486
487
488
489
490
491
492
493
494
495
496
497
498
499
500
501
502
503
504
505
506
507
508
509
510
511
512
513
514
515
516
517
518
519
520
521
522
523
524
525
526
527
528
529
530
531
532
533
534
535
536
537
538
539
540
541
542
543
544
545
546
547
548
549
550
551
552
553
554
555
556
557
558
559
560
561
562
563
564
565
566
567
568
569
570
571
572
573
574
575
576
577
578
579
580
581
582
583
584
585
586
587
588
589
590
591
592
593
594
595
596
597
598
599
600
601
602
603
604
605
606
607
608
609
610
611
612
613
614
615
616
617
618
619
620
621
622
623
624
625
626
627
628
629
630
631
632
633
634
635
636
637
638
639
640
641
642
643
644
645
646
647
648
649
650
651
652
653
654
655
656
657
658
659
660
661
662
663
664
665
666
667
668
669
670
671
672
673
674
675
676
677
678
679
680
681
682
683
684
685
686
687
688
689
690
691
692
693
694
695
696
697
698
699
700
701
702
703
704
705
706
707
708
709
710
711
712
713
714
715
716
717
718
719
720
721
722
723
724
725
726
727
728
729
730
731
732
733
734
735
736
737
738
739
740
741
742
743
744
745
746
747
748
749
750
751
752
753
754
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

Исследование в общем случае

98. Недостаток места не позволяет мне провести исследование в самом общем случае; однако я могу в нескольких словах наметить путь, которым оно должно быть проведено.

Если мы будем изменять элементы орбит непрерывным образом, то особые точки функции будут также изменяться непрерывным образом. Предположим, что мы изменяем эти элементы так, что орбиты остаются вещественными и ни в какой момент не пересекаются в вещественной точке, так что ни в один момент особые точки функции не сливаются. Рассмотрим особую точку функции она будет непрерывно изменяться, и поскольку мы предположили, что она никогда не сливается ни с одной другой точкой, то можно проследить за ее изменениями, не опасаясь неоднозначности.

Я утверждаю, что если эта точка допустима в некоторый момент, то она всегда останется допустимой, и обратно, за исключением одного случая, к которому мы еще вернемся.

Действительно, допустимость особой точки равносильна тому, что среди конечных значений соответствующих этой точке, имеются такие, модуль которых больше 1, и другие, модуль которых меньше 1.

Здесь, однако, необходимо некоторое уточнение. Действительно, в частном случае, рассмотренном в предыдущем пункте, была однозначной функцией что позволило нам изобразить особые точки на плоскости

В общем случае дело обстоит иначе, и такое простое представление становится невозможным. Надо изображать особые точки функции (рассматриваемой как функция от на специальной римановой поверхности, обозначенной мною выше через S.

Эту поверхность можно определить следующим образом. Имеем

Если мы зафиксируем z, то это уравнение будет определять соотношение между х и у, которому удовлетворяет бесконечное число систем значений у, или же Каждую из этих систем значений можно назвать аналитической точкой. Каждой точке римановой поверхности будет соответствовать одна и только одна из этих аналитических точек, обратно.

Когда мы станем изменять z, риманова поверхность S также будет изменяться, потому что особые точки функции перемещаются.

Пусть значение когда модуль z становится равным единице. Мы сможем провести на поверхности 50 окружность, которую я обозначу уравнение которой

(В самом деле, если придать х произвольное значение с модулем 1, то всегда можно выбрать значение у, также имеющее модуль 1, так что z будет иметь любое наперед заданное значение с модулем 1.)

Окружность делит риманову поверхность на две области. Ту из двух областей, которая содержит соседние с точки с , я обозначу а другую — .

Итак, предположим, что точка пробегает прямую А из предыдущего пункта, и пусть мы изучаем изменения особых точек функции . Когда z изменяется, эти точки перемещаются по поверхности в то время как поверхность S сама изменяется. Две из этих точек, первоначально слившиеся в одну (которая является особой точкой функции , разделяются; когда модуль z достигает значения 1, а S сводится к 0, они достигают на этой поверхности конечных положений. (Исследование предыдущего пункта нам показало, что существуют случаи, когда одна из этих особых точек сама разделяется на две другие; тогда имеются два конечных положения, но то, что я скажу, все равно остается применимым.) Если все конечные положения принадлежат одной и той же из двух ограниченных окружностью областей на поверхности то соответствующая особая точка функции недопустима; в противном случае она допустима.

Отметим небольшое отличие этой формулировки от той, которая была дана первоначально и соответствует частному случаю, указанному в предыдущем пункте. Аффиксы двух рассматриваемых особых точек могут быть по абсолютной величине один — больше, а другой — меньше единицы, но эти две точки могут тем не менее принадлежать одной и той же из двух указанных выше областей, если они не принадлежат одному и тому же листу римановой поверхности.

Я утверждаю теперь, что при изменении элементов двух орбит особая точка, которая сначала была допустимой, не может, вообще говоря, стать недопустимой, и обратно. В самом деле, рассмотрим изменения поверхности и изменения значений, которые мы назвали конечными. Для того чтобы особая точка действительно перестала быть допустимой или стала ею, надо, чтобы соответствующее конечное значение пересекло окружность чтобы перейти из одной области в другую. Но каков же смысл уравнений этой окружности

Они означают, что обе эксцентрические аномалии вещественны. Каждой точке М римановой поверхности и в частности поверхности соответствует пара точек , лежащих на орбитах и определенных значениями эксцентрических аномалий, или, что то же самое, значениями х и у. Если точка М находится на окружности то точки вещественны. Точка М может быть особой лишь в том случае, когда расстояние равно нулю или же когда одна из точек находится на нулевом расстоя -нии от Солнца. Второе обстоятельство не может представиться в случае, когда точки вещественны; первое также не может представиться, если, как мы предположили, орбиты не пересекаются ни в одной вещественной точке.

Таким образом, невозможно, чтобы точкаокружности была особой, т. е. чтобы одно из конечных значений достигло окружности; другими словами, чтобы особая точка функции приобрела или потеряла свойство допустимости.

Остается, однако, рассмотреть один случай, когда это рассуждение не проходит. Я предполагаю, что точка пробегает прямую А, и мы изучаем соответствующие изменения особых точек функции . Вначале две из этих точек слились в одну и, следовательно, совпадают с особой точкой А функции затем они разделяются; пусть а — одна из этих точек; может случиться (и мы видели примеры этому в предыдущем пункте), что для некоторого значения z точка а сливается с другой особой точкой функции (вообще говоря, отличной от той, с которой она совпадала вначале) и, следовательно, с особой точкой В функции . Затем они разделяются, так что особая точка А имеет не два, а три конечных значения.

В этом случае для краткости я буду говорить, что точка В подчинена точке для этого надо, чтобы значение z в точке В имело тот же аргумент, что и значение z в точке А, а его модуль был ближе к единице, чем в точке А.

Пусть теперь две особые точки функции и предположим, что их z первоначально имели различные аргументы. Будем непрерывно изменять элементы двух орбит и, следовательно, точки А и если в некоторый момент точка В становится подчиненной точке А, то может

случиться, что в этот момент вопреки общему правилу, сформулированному выше, точка А становится допустимой или перестает ею быть.

Посмотрим, как это может произойти. Заметим сначала, что значения х, соответствующие особым точкам функции , определяются из алгебраических уравнений. Если точки определены, таким образом, одним и тем же неприводимым уравнением, я скажу, что они имеют одну природу, а в противном случае — различную. Нетрудно видеть, что если точки различной природы, то точка В может стать подчиненной точке при этом последняя не потеряет и не приобретет свойства допустимости.

Теперь я предположу, что точки одной природы. Если точка В недопустима, то она может стать подчиненной точке А, причем последняя не станет допустимой и не перестанет ею быть. Если, напротив, точка В допустима, то в общем случае может случиться, что в момент, когда В станет подчиненной А, точка А перестанет быть допустимой, если до этого она была таковой или же станет допустимой, если она не была допустимой. При этом точка В всегда сохраняет свойство допустимости или недопустимости.

Итак, предыдущие рассуждения позволяют нам определить, какие из точек допустимы, непрерывно изменяя элементы орбит и следуя за изменениями особых точек. При этом можно либо ограничиться таким изменением элементов, при котором две особые точки ни в один момент не имеют z с одним и тем же аргументом (чтобы избежать исследования, необходимого для определения того, действительно ли они подчинены одна другой), либо не ограничивать изменения элементов, но проводить исследование подчиненности особых точек.

Можно изменять не только элементы орбит, но и отношение отвлекаясь при этом от того, что оно должно быть рациональным; последнее мы предполагали лишь в очень частных целях, не имеющих никакого отношения к изучению допустимости особых точек. Для того чтобы только что сказанное нами было применимо, это отношение должно все же оставаться вещественным и не проходить ни через 0, ни через бесконечность.

Итак, для того чтобы можно было применить предыдущие рассуждения, достаточно знать, какие особые точки допустимы для некоторых значений элементов. Таким образом, того, что я говорил в предыдущем пункте по поводу частного случая, нам, по-видимому, достаточно; однако в этом частном случае некоторые особые точки оказывались либо 0, либо бесконечностью, и я на них не останавливался в нашем исследовании. Поэтому мне необходимо добавить еще несколько слов.

Предположим вначале, что оба эксцентриситета конечны, а наклонение остается нулевым. Пусть

Особые точки функции будут тогда определены следующими уравнениями:

Кривые (3) и (4) третьего порядка; для того чтобы они были вещественными, необходимо и достаточно, чтобы большие оси двух орбит совпадали, т. е. чтобы разность была равна 0 или .

Предположим, что тогда на кривой (3) будет двойная точка

Если х очень мало, то кривая будет иметь три ветви: первая, которую я обозначу будет мало отличаться от ветви рис. 3; вторая, которую я обозначу пройдет через начало и через двойную точку. Она будет вначале асимптотически приближаться к отрицательной оси х и будет очень близка к ней; затем, пройдя через двойную точку, она будет мало отличаться от ветви рис. 2. Третья ветвь, которую я обозначу будет асимптотически приближаться к оси у, она очень мало отличается вначале от ветви рис. 2, затем проходит через особую точку и очень близка к оси х, к которой она асимптотически приближается. Отныне я буду говорить, что две точки обратны, если они переходят одна в другую при замене х на Их, у на на на — -Две кривые (3) и (4) тогда обратны друг другу. Если и, следовательно, наши кривые вещественны, то это определение не отличается от определения предыдущего пункта.

В качестве особых точек мы имеем.

1. Пересечения кривых (3) и (4), очень мало отличающиеся от точек В, рис. 2 и 3 и которые я по-прежнему могу обозначать теми же буквами. Мы видели, что они недопустимы.

2. Пересечения и кривой (4); и кривой (3), мало отличающиеся от точек рис. 2; они также недопустимы.

3. Три точки, расположенные на кривой (3) и очень мало отличающиеся от точек рис. 2 и 3; лишь одна первая допустима.

4. Три точки, обратные предыдущим, расположенные на кривой (4); лишь та, которая мало отличается от допустима.

5. Точку, определенную уравнениями (3) и (5), расположенную на ветви и сводящуюся к при Эта точка, которую мы не рассматривали в предыдущем пункте, требует особого исследования. Исследование докажет, что эта точка, которую я обозначу Т, допустима; две особые точки функции , совпадающие с ней, разделяются,

когда пробегает прямую и вначале комплексно сопряжены, потом они снова соединяются в одну точку, соответствующую точке и затем опять разделяются, становясь вещественными. Конечные значения Т те же, что и таким образом, Т допустима, как и

6. Точку обратную Т и, следовательно, допустимую, как и она.

7. Двойную точку которую я обозначу через эту точку проходят две из ветвей кривой (3) и две прямые Этой точке соответствуют четыре конечных значения, поскольку, когда пробегает прямую А, четыре особые точки , вначале сливающиеся в одну, разделяются таким образом, что четыре изображающие точки описывают соответственно две ветви кривой (3) и прямые среди этих конечных значений три меньше 1 по абсолютной величине или, более точно, принадлежат области римановой поверхности Четвертое конечное значение — то, которое соответствует ветви кривой, — принадлежит другой области. Таким образом, точка допустима.

8. Точку обратную т. е. двойную точку кривой (4); она по той же причине допустима.

9. Остаются еще точки пересечения прямой с кривой (4), которые я обозначу , и точки пересечения прямой с кривой (3), которые я обозначу V к ним я добавлю две взаимно обратные точки

которые я обозначу . Точка X недопустима, и оба конечных значения, соответствующие двум прямым принадлежат области

Перейдем к точке V (очень близкой к началу координат точке пересечения прямой с кривой когда точка пробегает А, две изображающие точки, соответствующие двум разделяющимся особым точкам, следуют: первая — кривой (4) до точки а вторая — прямой до точки Точки подчинены, следовательно, V, и эта точка V допускает в качестве конечных значений множество конечных значений точек . Все конечные значения принадлежат области конечные значения точки которая является допустимой, принадлежат обеим областям. Итак, точка V допустима, но она перестает быть таковой, как только разность , перестав быть равной нулю, становится очень малой. Действительно, в этом случае уже не подчинены V и остаются лишь два конечных значения: одно, близкое к одному из конечных значений а другое — близкое к одному из конечных значений (соответствующему прямой оба эти конечные значения принадлежат области

Наконец, недопустимая особая точка [точка пересечения кривой (3) с прямой близкая к оси у]. Действительно, этой точке подчинены , конечные значения которых принадлежат

Таким образом, если наклонение равно нулю, разность очень мала, эксцентриситет мал, а эксцентриситет очень мал по отношению к то единственными допустимыми точками будут и обратные им.

Предположим теперь, что наклонение не равно нулю, но очень мало.

Если мы запишем, что расстояние между двумя планетами равно нулю, то получим не два разных уравнения (3) и (4), как в предыдущем случа а единое уравнение

которое, если рассматривать (как на рис. 2) х и у как координаты точки в плоскости, будет определять кривую шестого порядка.

Эта кривая распадается на две кривые третьего порядка (3) и (4), когда наклонение равно нулю; для того чтобы она была вещественной, необходимо и достаточно, чтобы большие оси орбит были перпендикулярны линии узлов.

Если наклонение очень мало, то особыми точками будут.

1. Точки, очень мало отличающиеся от и им обратных; я обозначу их теми же буквами; ясно, что допустимы лишь и обратные им.

2. Две точки очень мало отличающиеся от две точки очень мало отличающиеся от и обратные им. Все эти точки недопустимы.

3. Девять точек, мало отличающихся от а именно: два пересечения прямой два пересечения четыре точки Необходимо особое исследование.

Определив таким образом, какие точки допустимы, мы должны посмотреть, какая из них соответствует значению самому близкому к единице, чтобы выяснить, какую из этих точек следует сохранить.

Если эксцентриситет, соответствующий большей из двух больших осей, и наклонение малы по отношению к другому эксцентриситету, и если разность мала, то подходящая нам точка есть

Я вынужден ограничиться этим и прекратить здесь исследование, которое только наметил в общих чертах. Однако мне кажется, что важность темы может вдохновить не одного исследователя; кроме этого исследования, он должен будет дать быстрый и практичный метод решения алгебраических уравнений, к которым мы пришли, учитывая малость некоторых величин и тот факт, что можно ограничиться чаще всего посредственным приближением. Впрочем, его задача будет в большой мере облегчена полным аналитическим исследованием функции и ее различных ветвей.

1
Оглавление
email@scask.ru