Предельный случай

207. Перейдем, наконец, к случаю, когда постоянная равна максимуму Этот случай занимает промежуточное положение между обычным случаем и случаем либрации.

Рассмотрим вновь уравнения (3) п. 204 и уравнения (13), (14) и (15) п. 205. Я всегда буду предполагать, что (при и, следовательно, что В этом случае, как мы видели в п. 200, радикал

(а следовательно, и является периодической функцией от но период ее равен уже не Если заменить на то эта функция меняет знак на противоположный. Она обращается в нуль лишь

при одном значении заключенном между Это в точности то значение при котором функция достигает своего максимума. Не уменьшая общности, можно предполагать, что это значение равно нулю. Тогда

при

каково бы ни было целое число к.

Все это я подробно изложил в .

Рассмотрим теперь уравнения (3), а также уравнения, аналогичные уравнениям (13) и (15), полученным приравниванием средних значений правых и левых частей уравнений (3). Как мы видели, эти уравнения позволяют нам последовательно найти функции Кроме того, они показывают, что производные являются периодическими функциями относительно причем период равен относительно относительно

Если постоянные равны нулю при нечетном индексе [как я предполагал при написании уравнений (3)], то эти уравнения не изменятся ни в том случае, если заменить на ни в том случае, если заменить на

Отсюда с помощью рассуждений, аналогичных тем, которыми мы пользовались в , нетрудно заключить, что при замене на производная перейдет в

Следовательно, производная является периодической функцией с периодом относительно если четно. Если же нечетно, то эта функция меняет знак при замене на

Возникает вопрос: конечны ли функции

Для отыскания у нас имеется уравнение (15)

в общем же случае находят из уравнения

где постоянная равна нулю, если нечетно.

Функцию в правой части уравнения (27), зависящую только от я полагаю равной

Нетрудно видеть (по индукции), что

Может случиться так, что производная обращается в бесконечность, ибо может обращаться в нуль при а правая часть уравнения (27) при этих значениях в нуль может не обратиться.

Следовательно, если требуется, чтобы производные оставались конечными, то необходимо, чтобы

Если условия (28) выполняются при всех значениях то производные а следовательно, и остаются конечными.

Если четно, то уравнениям (28) удовлетворить легко: в самом деле, постоянная произвольна, достаточно выбрать ее равной

Но если нечетно, то постоянная равна нулю, и мы должны удовлетворить условию

из которого следует также условие

Поскольку нет никакого иного произвола в выборе решения, условие (29) должно выполняться автоматически. На самом деле так и происходит, однако это необходимо еще доказать. Это доказательство я проведу ниже.

208. Предположим сначала, что имеется лишь две степени свободы и, следовательно, только четыре переменные

Обратимся к пунктам 42, 43 и 44. Мы видели, что каждой системе средних движений

соизмеримых между собой, соответствует функция а каждому максимуму или каждому минимуму этой функции соответствует периодическое решение.

Но в рассматриваемом нами случае число средних движений равно двум,

и одно из них, а именно равно нулю. Поэтому эти два средние движения соизмеримы между собой. Кроме того, функция обладает

абсолютным максимумом, который достигается при и равен 62. Следовательно, этому максимуму должно отвечать какое-то периодическое решение. Пусть

— такое решение. Поскольку величина равна нулю, если величина увеличивается на один период, то принимают свои исходные значения, а получает приращение

Если исключить из уравнений (30), то

где — периодические функции с периодом

Число характеристических показателей равно двум. В силу главы IV они должны быть равны по величине и противоположны по знаку. Кроме того, поскольку периодическое решение соответствует максимуму, а не минимуму функции эти показатели должны быть вещественными. В силу п. 79 периодическое решение должно быть неустойчивым.

Установив это, произведем замену переменных, аналогичную замене переменных п. 145.

Пусть

где некоторая функция от определяемая из условия

Каноническая форма уравнений не изменится, если я в качестве новых переменных возьму положив

Итак, имеем

откуда

Как функция выражается в новых переменных?

Прежде всего заметим, что в силу пунктов 42—44 можно разлагать по возрастающим степеням и что при они обращаются в

постоянные

Ясно, таким образом, что зависят от допускают разложение по степеням и периодичны относительно При они будут

Итак, функция не изменит своего вида, если ее выразить через новые переменные. Под этим я подразумеваю, что можно разлагать по степеням и что она периодична относительно однако относительно функция не периодична.

Очевидно, что новые канонические уравнения

допускают в качестве решения

ибо старые уравнения допускали в качестве решения

Отсюда мы выводим заключение о том, что три производные

одновременно обращаются в нуль, если

С другой стороны, если то вырождается в некую постоянную, которую я буду обозначать А. Эта постоянная допускает разложение по степеням

Положим

функцию можно разлагать по степеням при малых значениях этих переменных; ее разложение не будет содержать члена нулевого порядка и члена первого порядка, отличного от члена, содержащего Коэффициенты этого разложения будут зависеть от

Рассмотрим далее уравнение

Попытаемся удовлетворить ему, положив

Функции мы найдем последовательно с помощью уравнений, аналогичных уравнениям (3) п. 204 и отличающихся от последних лишь тем. что входящие в них буквы имеют штрихи и все постоянные равны нулю.

Подставим в вместо S его выражение (33), а затем разложим по возрастающим степеням

Пусть этим разложением будет

Тогда при малых значениях будет допускать разложение по степеням

Коэффициенты разложения будут периодическими функциями от Однако я хотел бы обратить особое внимание на то, что это разложение не содержит члена нулевого порядка и что единственными членами первого порядка будут те, которые содержат

Итак, мы должны найти

из уравнений

аналогичных уравнениям (14), и найти из уравнений

аналогичных уравнениям (15), причем все константы, аналогичные равны нулю.

Функции , входящие в правые части уравнений (34) и (35), можно разлагать по степеням Единственными членами первого порядка будут члены, содержащие

Я утверждаю, что производные при не только не обращаются в бесконечность, но и равны нулю, а именно, значение является простым нулем для и двукратным для

Докажем эту теорему по индукции. Предположим, что она справедлива для уже известных нам функций. Тогда функция Ф из уравнения (34) имеет в двукратный нуль. В самом деле, является простым нулем для каждого из множителей, из которых состоит каждый член порядка больше 1 разложения Ф по степеням другой стороны, члены первого порядка этого разложения зависят от производных для которых является двукратным нулем.

Отсюда и из уравнения (34) следует, что есть двукратный нуль для

и, следовательно, для

и простой нуль для

Аналогичные выводы о свойствах функции Ф можно получить из уравнения (35) так же, как мы только что сделали для функции Ф. Нетрудно видеть, что является двукратным нулем для Ф и, следовательно, для

Поскольку, с другой стороны, это значение есть простой нуль для то оно точно так же является простым нулем и для

что и требовалось доказать.

Итак, функции, определяемые уравнениями (34) и (35), конечны. Какое соотношение существует между функцией определенной в предыдущем пункте, и функцией которую мы только что нашли? Имеем

откуда, принимая во внимание уравнения (32), получаем

Отсюда следует, что

Поскольку функции так же, как и их производные, всегда конечны, то такими же будут и функция 5 и ее производные.

Приравнивая в (36) коэффициенты при одинаковых степенях нетрудно вычислить функции

В самом деле, выше мы записали

Но это разложение получено в предположении, что функции выражены в новых переменных Если же вернуться к старым переменным, то вид разложения изменится и его можно будет записать так:

с уравнением (8) п. 200].

Пусть

Тогда

Из этого уравнения видно, что постоянные можно выбрать так, чтобы производные постоянно оставались конечными.

Отсюда с необходимостью следует, что условия (29) выполняются автоматически.

В п. 207 мы видели, что производные представляют собой периодические функции с периодом относительно Однако ни ни периодическими не являются, поскольку функция Е, о чем я уже говорил выше, не является более периодической относительно

Но уравнение (37) показывает нам, что:

1) производная периодическая;

2) производная получает приращение — если растает на

Рассмотрим уравнения

которые задают в виде функций от Эти уравнения интересны.

В самом деле, рассмотрим уравнения (30). Они определяют периодическое решение, послужившее отправным пунктом в наших рассуждениях. Мы видели, что это решение неустойчиво.

Следовательно, в силу принципов, изложенных в главе VII, оно приводит к возникновению двух рядов асимптотических решений, общие

уравнения которых можно привести к виду

— для первого ряда и к виду

— для второго ряда. Здесь произвольные постоянные.

Если из уравнений (38) исключить и А, а затем разрешить их относительно то получатся уравнения (37). Мы придем к тому же результату (изменится лишь знак радикала если исключим и В из уравнений (39). Может быть, некоторый интерес представит сравнение изложенного выше доказательства с тем, которое приведено мною в т. XIII журнала «Acta mathematica» (стр. 211—216, одна часть, и стр. 217—219, другая часть) [56].

209. Попытаемся обобщить приведенное доказательство на случай, когда число степеней свободы больше двух. Для этого попытаемся прежде всего обобщить понятие, послужившее нам отправной точкой, т. е. понятие периодического решения (30).

Итак, мы ищем функцию, зависящую от переменной

Я буду обозначать эти функции

Они таковы, что соотношения

являются инвариантными соотношениями в том смысле, какой был придан этому слову в п. 19.

Отсюда вытекают следующие условия:

Излишне добавлять, что в производных от по предположению заменены величинами

Кроме того, функции и должны быть периодическими относительно при они должны обращаться в постоянные

Наконец, я наложу еще одно условие: я хочу, чтобы выражение

было полным дифференциалом некоторой функции зависящей от

Находим

Отсюда заключаем, что производные от являются периодическими функциями. Кроме того,

т. е. если в функции заменить переменные функциями , и то выродится в постоянную.

Нетрудно проверить с помощью вычислений, несколько напоминающих вычисления из главы XV, что второе уравнение (40) с необходимостью следует из двух остальных уравнений и уравнений (41) и (42).

В самом деле, если уравнение (42) продифференцировать по затем преобразовать, принимая во внимание первое и третье уравнения также соотношение

получающееся из соотношений (41) при дифференцировании, то придем ко второму из уравнений (40).

Итак, для отыскания функций мы оставим первое и третье уравнение (40), а также уравнения (41) и (42).

Попытаемся теперь разложить функции и 0 по степеням следующим образом:

Прежде всего, положив в первом уравнении (40), найдем

Этот результат доказывает, что не зависит от То же можно записать в виде

поскольку означает среднее значение рассматриваемой как периодическая функция от

Отсюда, положив в третьем уравнении (40) , получим

В правой части следует заменить соответственно на Последние должны быть такими постоянными, что

Величины мы рассматриваем как данные задачи, так что эти уравнения определяют и

Наши уравнения принимают вид

откуда

Поскольку абсолютная постоянная, а производная должна быть равна нулю, получаем из уравнений (41), что

С другой стороны, если постоянную в правой части уравнения (42) разложить по возрастающим степеням и записать ее в виде

то из уравнения (42), положив в нем получим

Это уравнение и определяет постоянную Кроме того, мы видим, что

Теперь нам известны Что же касается то мы знаем лишь, что является некоторой постоянной и, следовательно, что

но не знаем, чему равно

Приравняв коэффициенты при в первом уравнении (40), получим (напомним, что постоянная)

Предполагается, что в правой части заменены на Правая часть представляет собой периодическую функцию от среднее значение которой в силу того, что и постоянны, будет обладать свойством

Это среднее значение должно быть равным нулю, что дает нам уравнение

определяющее постоянную

Остается уравнение

где Ф — некоторая известная периодическая функция, среднее значение которой равно нулю. Из этого уравнения легко найти

Приравняем теперь коэффициенты при в уравнении (42) и примем во внимание уравнения (41), из которых следует, что

Мы найдем, что

Здесь Ф — некоторая известная периодическая функция, среднее значение которой не обязательно должно быть равным нулю, поскольку требуется, чтобы периодическими были не функция а ее производные. Из этого уравнения мы получим зависящую от постоянной, которые можно выбирать произвольно.

Приравняв коэффициенты при в третьем уравнении (40), получим

Среднее значение правой части этого уравнения должно быть равно нулю, откуда

Отсюда получаем а из уравнения (44) находим затем

Будем продолжать аналогичным образом. Предположим, что уже нашли

Требуется найти

Прежде всего приравняем коэффициенты при в третьем уравнении (40). Получим

Среднее значение правой части этого уравнения должно быть равным нулю, откуда

или

Из этого уравнения находим поскольку разность известна. Итак, полностью известна. Уравнение (45) позволяет найти

Если теперь приравняем коэффициенты при в уравнении (42) и учтем уравнение (41), то получим

откуда найдем

Приравняем, наконец, коэффициенты при в третьем уравнении (40). Мы получим уравнение, аналогичное уравнению (44),

Правая часть его должна иметь нулевое среднее значение, и соответствующее уравнение

определяет и, следовательно,

Затем из уравнения (46) находим

Итак, мы сумели найти функции, удовлетворяющие наложенным условиям, и тем самым реализовали подлинное обобщение периодических решений. Единственное различие состоит в том, что в то время как ряды, определяющие периодические решения, сходятся, ряды, существование которых мы только что доказали, сходиться не будут. Поэтому указанное обобщение периодических решений обладает ценностью только с точки зрения формального анализа.

210. Попытаемся теперь воспользоваться результатами п. 209, чтобы показать, что соотношения (29) и в общем случае выполняются автоматически.

Для этого обозначим

и произведем замену переменных, положив,

При этом канонический вид уравнений не изменится, и мы получим

и, наконец,

или, учитывая (41),

В новых переменных функция имеет тот же вид, что и в старых, за исключением того, что она не является периодической относительно

В качестве инвариантных соотношений новые канонические уравнения допускают соотношения

Это означает, что при

и, кроме того, вырождается в постоянную А. Я введу новое обозначение:

Ясно, что если разложить по степеням то членов нулевого порядка не будет, а единственными членами первого порядка будут члены, содержащие

Рассмотрим уравнение

и попытаемся удовлетворить ему, положив

(функции будем находить последовательно).

Вычисления протекают в точности так же, как в п. 208.

Кроме того, в рассматриваемом случае функции и их производные зависят от Ясно, что при эти функции не обращаются в бесконечность, наоборот, для

точка является двукратным нулем, для

эта точка является простым нулем. Так же, как и в п. 208, рассуждения проводятся по индукции (наши уравнения имеют тот же вид, что и уравнения п. 208). Поэтому я не буду останавливаться на деталях. Замечу только, что уравнение, аналогичное уравнению (34), записывается в

где

— периодическая функция относительно среднее значение которой равно нулю. Коэффициенты зависят от но, разумеется, для разных членов по-разному.

Мы найдем, что

Утверждение о том, что является двукратным нулем для функции Ф, очевидно, эквивалентно утверждению о том, что является двукратным нулем для каждого из коэффициентов А и, следовательно, для

Остальная часть доказательства протекает в точности так же, как в п. 208.

Итак, функции конечны. Отсюда так же, как и в п. 208, заключаем, что конечными будут и функции и, следовательно, соотношения (29) выполняются автоматически.