Разложение показателей. Вычисление первых членов

74. Вернемся к уравнениям

из n. 13 и к предположениям этого пункта.

Положим

При постоянны; с другой стороны, имеем

где — постоянные.

Пусть — такие значения что величины кратны Пусть такие значения что

В п. 42 и 44 мы видели, что уравнения (1) имеют периодическое решение с периодом Т, которое разлагается в ряд по степеням и которое при сводится к

где некоторые частные значения постоянных Рассмотрим теперь произвольное решение.

Пусть начальные значения начальные значения при Пусть приращение приращение у, когда изменяется от 0 до Т.

Вот как составляется уравнение, дающее характеристические показатели.

Построим определитель, элементы которого даются следующей таблицей. В этой таблице первый столбец указывает номер строки, второй указывает номер столбца, а третий дает соответствующий элемент определителя.

Приравнивая нулю построенный таким образом определитель, получим уравнение относительно корнями которого являются выражения

где а — характеристические показатели.

разлагаются в ряды по степеням То же самое можно сказать о величинах

Здесь следует заменить и значениями, соответствующими периодическому решению и разложимыми в ряды по степеням так что после этой подстановки величины (3) будут разложены в ряды по степеням Поскольку, с другой стороны,

мы видим, что наш определитель является целой функцией от а, разложимой в ряд по степеням

Я обозначу эту функцию и для определения а как функции от буду иметь уравнение

Теперь положим

Разделим первые строк определителя, а также его последних столбцов, на Если записать элементы определителя в том же порядке, что и в (2), то они примут вид

и уравнение (4) превратится в уравнение

Посмотрим, во что превратится это уравнение при или, другими словами, образуем определитель .

При равны нулю, а у а зависят лишь от Следовательно, делятся на Итак, получаем

С другой стороны,

Затем получим (при

В нужно заменить на Следовательно, получаем

В после дифференцирования надо положить т. е.

Мы имеем (по-прежнему при

В следует заменить на на это показывает прежде всего, что

Поскольку мы намерены дифференцировать по а не по можем сразу же дать их окончательные значения и положить откуда Тогда становится периодической функцией с периодом Т по и с периодом по Пусть

— среднее значение функции рассматриваемой как периодическая функция от полупим

откуда

Таким образом, элементы определителя , если их записать в том же порядке, что и в (2), примут вид

Таким образом, мы получаем алгебраическое уравнение относительно вообще, это уравнение имеет два нулевых корня, а все остальные различны и отличны от нуля.

Применив теорему п. 30, мы увидим, что из уравнения

можно получить (и, следовательно, а) в виде ряда по степеням

Итак, мы должны исследовать уравнение

Если мы заменим на то это уравнение не изменится.

Действительно, если мы умножим первых строк и последних столбцов на —1, то определитель не изменится и все элементы определителя также не изменятся, за исключением элементов главной диагонали, которые были равны и станут равными

Я утверждаю, что уравнение имеет два нулевых корня. Действительно, если мы приравняем нулю, определитель станет равным произведению двух других, а именно:

1) гессиана — по

2) гессиана по 3.

Последний гессиан равен нулю, так как по определению

Следовательно, уравнение удовлетворяется при и, поскольку его корни попарно противоположны по знаку, оно должно иметь два нулевых корня.

Для того чтобы было больше двух нулевых корней, необходимо, чтобы коэффициент при был равен нулю. Но этот коэффициент можно подсчитать следующим образом. Умножим первую строку на и прибавим к ней вторую, умноженную на третью, умноженную на умноженную на Все элементы остаются неизменными, за исключением элементов первой строки, которая принимает вид

Умножим теперь столбец на и прибавим к нему умноженный на умноженный на умноженный на Все элементы остаются неизменными, кроме элементов столбца, которые принимают вид

С помощью этой двойной операции мы умножили наш определитель на Разделим его теперь на разделив на первую строку и столбец.

Положим затем и найдем искомый коэффициент.

Элементы полученного таким образом определителя представлены следующей таблицей:

Мы видим, что этот определитель с точностью до знака равен

где два следующих определителя:

а гессиан по

Замечая, что равен с точностью до знака я вижу, что не изменяется при замене в первой строке и последнем столбце на Составленный так определитель будет называться окаймленным гессианом по

Таким образом, уравнение не может иметь больше двух нулевых корней и, следовательно, не может быть более двух нулевых характеристических показателей, если только или не обращаются в нуль.

В частном случае задачи трех тел, который мы рассматривали в , имеются лишь две степени свободы и

тогда получаем

следовательно, определитель не равен нулю; можно проверить, что

также не равен нулю.

Итак, в этом частном случае задачи трех тел два характеристических показателя равны нулю, а два других отличны от нуля.

75. Определитель можно немного упростить подходящим выбором переменных. Я утверждаю, что всегда можно предполагать, что

Действительно, если это не так, можно было бы заменить переменные, взяв за новые переменные и положить

где постоянные коэффициенты. После этой линейной замены переменных уравнения сохранят канонический вид, а величины, которые будут соответствовать и котороые мы обозначим Пп, будут задаваться соотношениями

поскольку

Так как числа соизмеримы между собой, мы всегда можем выбрать таким образом:

1) чтобы были целыми числами;

2) чтобы их определитель был равен 1.

Эти два условия необходимы, чтобы оставалась периодической по у, так же, как она была периодична по у;

3) чтобы

Таким образом, мы можем всегда предполагать, что условия (1) выполнены, и мы получим отсюда следующие уравнения:

76. Интересным частным случаем является случай, когда одна или несколько переменных не входят в Предположим, например, что не зависит от Тогда все элементы столбца строки) равны нулю, за исключением тех из них, которые принадлежат главной диагонали и остаются равными

Я предположу, кроме того, что переменные были выбраны так, что условия 1 и 2 предыдущего пункта выполнены.

Отсюда следует, что элементы первой строки столбца) все равны нулю, за исключением тех из них, которые принадлежат главной диагонали и остаются равными —

Таким образом, все элементы 1-й и и строк и столбцов делятся на (я добавлю, что все элементы, принадлежащие одновременно одной из этих строк и одному из этих столбцов, равны нулю и, следовательно, делятся на отсюда видно, что определитель делится на и следовательно, что уравнение имеет четыре нулевых корня.

В каком случае оно может иметь больше четырех нулевых корней?

Чтобы отдать себе в этом отчет, разделим 1-ю и строки и стобцы на и положим затем . В каком случае таким образом полученный определитель, равный

будет равен нулю?

Мы можем также разделить определитель на отбрасывая строки и столбцы с теми же номерами. Если затем положить мы увидим, что все элементы равны нулю, кроме тех, которые принадлежат одному из последних оставшихся столбцов и одной из первых строк или же, наоборот, одному из первых столбцов и последних строк.

Таким образом, определитель равен с точностью до степени Т произведению двух гессианов, а именно:

1) гессиана по

2) гессиана по

Если ни один из этих двух гессианов не равен нулю, то уравнение будет иметь не более четырех нулевых корней и поэтому число нулевых характеристических показателей не превосходит четырех.

Что станет с этим условием, если предположить, что переменные произвольны и что условия 1 и 2 предыдущего пункта не выполняются?

В этом случае надо подвергнуть определитель тому же преобразованию, что и в конце п. 74; тогда мы увидим, как и в конце этого пункта, что после преобразования элементы первой строки будут равны

а элементы столбца будут равны

Важно только заметить здесь, что равно нулю, так как

Затем мы сможем разделить этот определитель на отбрасывая строки и столбцы с теми же номерами и разделив на элементы первой строки и столбца. Если затем положить то определитель сведется к произведению двух других, а именно:

1) окаймленного гессиана по

2) гессиана по

Для того чтобы нулевых характеристических показателей было больше четырех, необходимо (но не достаточно), чтобы один из этих гессианов был равен нулю.

Предположим теперь, что не содержит ни ни Рассуждая подобным образом, можно прийти к следующему результату.

Уравнение всегда имеет шесть нулевых корней; для того чтобы оно имело больше нулевых корней, необходимо и достаточно, чтобы окаймленный гессиан по был равен нулю или же чтобы гессиан по был равен нулю. Это условие, следовательно, необходимо (но не достаточно) для того, чтобы имелось более шести нулевых характеристических показателей.

77. Вернемся к предположениям, сделанным в начале п. 76, а именно, что не зависит от и что условия 1 и 2 п. 75 выполнены.

Мы видели, что уравнение

Допускает тогда четыре и только четыре нулевых корня и из этого заключили, что число нулевых характеристических показателей не превосходит четырех. Напротив, отсюда нельзя заключить, что четыре нулевых показателя равны нулю; это доказывает лишь, что в разложении этих показателей по степеням первый член разложения равен нулю для четырех из них.

Нам остается выяснить, равны ли нулю также и последующие члены разложения.

Я знаю, что два показателя равны нулю, поскольку время не входит явно в дифференциальные уравнения, и что является интегралом. Я намерен исследовать, что произойдет с двумя другими, и для этого пайду коэффициент при в их разложении.

Положим

разделим уравнение

на подходящую степень и затем положим получим уравнение, которое даст значения

Из того, что не зависит от можно заключить, что величины, обозначенные через и равные — также не зависят от и, следовательно, от

Поэтому не только, как в п. 74, когда все равны нулю, но и когда не равно нулю, если только остальные равны нулю.

Итак, если мы предположим

будем по-прежнему иметь

Это позволяет дифференцировать тождество по и записать

Вычислим теперь

Получим

где, поскольку имеем при

Это тождество имеет место, если только

Следовательно, мы можем его дифференцировать по или по что дает

Что касается величин

нам достаточно заметить, что они делятся на

Надо еще исследовать элементы первой строки определителя, а также элементы столбца.

Элементы первой строки равны

Они все делятся на но я утверждаю, что последних элементов, т. е.

делятся на Действительно, мы нашли при

Но в силу определения имеем

или в силу соотношений (1) п. 75

откуда (дифференцируя это тождество) получаем

при что и требовалось доказать.

Элементы столбца записываются в виде

Все эти элементы делятся на но я утверждаю, что первых и последний делятся на или, что то же самое,

при

Действительно, мы нашли

и

откуда дифференцированием получаем

что и требовалось доказать.

Теперь я делю каждый элемент нашего определителя на Т, затем 1-ю строку на строки на столбец на столбцы на В конечном счете определитель разделен на Затем я полагаю

Я замечаю, что следующие элементы равны нулю:

Заметим также, что следующие элементы конечны:

Следовательно, конечные элементы принадлежат только 1-й строке и строкам с по включительно и столбцам с но включительно и столбцу или же к строкам с 2-й по включительно и строке и столбцу или столбцам с по включительно»

Наш определитель становится равным произведению двух других, которые я обозначу через

Определитель получится вычеркиванием строк с номерами

и столбцов с номерами

Определитель получится вычеркиванием строк с номерами

и столбцов с номерами

Посмотрим, как эти определители зависят от . С этой целью я замечу что величина

входит лишь в члены главной диагонали, причем определитель содержит два из этих членов: один, принадлежащий столбцу и строке с номером а другой — столбцу и строке с номером

Определитель также содержит два из этих членов: один принадлежащий столбцу и строке с номером 1, другой — столбцу и строке с номером .

Отсюда следует, что являются многочленами второй степени от Таким образом, наше уравнение относительно распадается на два уравнения второй степени

Исследуем сначала уравнение

Чтобы составить определитель можно применить следующее правило.

Записать гессиан по

изменить знаки в последней строке (той, которая содержит производные от и прибавить затем к тем двум элементам, которые равны

То же самое уравнение можно получить проще (только изменив знак левой части), беря гессиан функции и прибавляя к одному и» двух элементов, равных по абсолютной величине к другому. Запишем уравнение предполагая для определенности, что

При такой записи непосредственно видно то, что, впрочем, можно было предвидеть: это уравнение относительно имеет два корпя, противоположных по знаку.

Эти два корпя будут конечными, если гессиан по

не равен нулю.

Они будут отличны от нуля, если гессиан по

не равен нулю.

Что касается уравнения то оно будет иметь два нулевых корня. В самом деле, мы знаем, что всегда имеются два нулевых характеристических показателя и, следовательно, два из значений равны нулю; но мы только что видели, что корни в общем случае не равны нулю; итак, приходится заключить, что это корни уравнения всегда равны нулю.

Как изменились бы результаты, если бы условия (1) п. 75 не были выполнены?

В этом случае следовало умножить (как мы это делали в первую строку на и прибавить к ней строки, умноженные соответственно на (я напомню, что равно пулю); затем надо было бы умножить столбец на и прибавить к нему столбцы, умноженные соответственно на После этого преобразования все элементы определителя остаются прежними, кроме элементов первой строки и столбца.

Кроме того, каждый элемент (как элементы первой строки и столбца, так и все остальные) делится на степень указанную в

столбце таблиц (4) и Разделим затем каждый элемент на Г и на степень указанную в столбце тех же таблиц.

Когда мы положим некоторое число элементов обратится в нуль, а остальные будут конечны в соответствии с таблицами (4) и Наш определитель останется равным произведению двух других, получающихся так, как описано выше.

Все элементы этих двух определителей будут иметь тот же вид, что и в предыдущем случае, за исключением элементов первой строки и столбца. Но не содержит ни одного элемента этой строки и этого столбца. Следовательно, выражается так же, как и в предыдущем случае, и справедливы те же выводы.

Значения конечны, если гессиан по не равен нулю, и отличны от нуля, если гессиан по не равен нулю.

Итак, если не зависит от если окаймленный гессиан по не равен нулю, если гессианы по , и по не равны нулю, то лишь два характеристических показателя равны нулю.

Перейдем к случаю, когда не зависит ни от от

Рассуждая аналогичным образом, мы увидим, что если окаймленный гессиан по не равен нулю, если гессианы от по и по и не равны, нулю, то лишь два показателя равны нулю.