Приведение канонических уравнений

14. Мы видели, что интегрирование уравнений (1) предыдущего пункта может быть сведено к интегрированию уравнения в частных производных

Представим себе, что известен интеграл уравнений (1) предыдущего пункта и что этот интеграл записывается в виде

это означает, что справедливо тождество

Я намерен показать, что знание этого интеграла позволяет понизить на единицу число степеней свободы.

Действительно, уравнение (3) означает, что существует бесконечное число функций удовлетворяющих одновременно уравнению (1) и уравнению

Установив это, исключим из уравнений (1) и (4) получим

Производная не входит в уравнение (5); ничто теперь не мешает нам рассматривать не как переменную, а как произвольный параметр; уравнение (5) тогда становится уравнением в частных производных всего с независимыми переменными.

Таким образом, задача сводится к интегрированию уравнений

которые являются каноническими уравнениями всего с степенями свободы.

Таким образом, если знание интеграла системы дифференциальных уравнений позволяет понизить порядок системы на единицу, то если эта система каноническая, можно понизить ее порядок на две единицы.

Возьмем в качестве примера задачу о движении тяжелого тела, подвешенного в неподвижной точке. Мы видели, что эта задача обладает

тремя степенями свободы, но нам известен один интеграл (интеграл площадей), следовательно, число степеней свободы может быть уменьшено до двух.

Что произойдет теперь, когда будет известен не один, интегралов уравнений (1) предыдущего пункта? Пусть

— эти интегралов, так что

Можно ли при помощи этих интегралов понизить число степеней свободы на единиц? В общем случае это не так; для этого надо, чтобы уравнений в частных производных

были совместными, что требует выполнения условий

Если условия (7) выполнены, то можно исключить из уравнений (6) производные

и мы придем к одному уравнению в частных производных

не содержащему этих производных. В этом уравнении независимыми можно будет считать только переменных рассматривая первых переменных как произвольные параметры.

Таким образом, мы получим приведенную систему канонических уравнений, обладающую не более чем степенями свободы.

Например, возьмем опять задачу трех тел, сохраняя обозначения начала . Мы видели, что число степеней свободы равно девяти.

Но мы имеем три первых интеграла движения центра тяжести, которые можно записать в виде

Легко проверяется, что

Следовательно, число степеней свободы может быть уменьшено до шести.

Если ограничиться плоским случаем задачи трех тел, первоначальное число степеней свободы равно лишь шести. Но имеется только два интеграла, подобных (8). Поэтому после приведения останутся только четыре степени свободы.

Представим себе теперь, что кроме интегралов нам известен еще один интеграл Можно ли вывести отсюда интеграл приведенной системы? Этот вопрос можно сформулировать иначе.

Известно уравнение в частных производных

совместное с уравнением

Будет ли оно совместно с системой (6)?

Сразу видно, что для этого необходимо и достаточно, чтобы

Цернемся, например, к задаче трех тел и рассмотрим три интеграла площадей

Легко проверить, что

Не нарушая общности, можно предположить, что центр тяжести неподвижен, т. е. что входящие в правые части уравнений (8) константы все равны нулю. Тогда

и, следовательно,

откуда видно, что интегралы площадей являются также интегралами приведенной системы.

В заключение я попытаюсь понизить насколько возможно число степеней свободы в задаче трех тел, учитывая одновременно интегралы центра тяжести и интегралы площадей.

В частном случае, когда три тела движутся в плоскости, мы видели, что число степеней свободы может быть сведено к четырем, если учитывать уравнения (8). Таким образом, приведенная задача допускает еще один интеграл (интеграл площадей), что позволяет понизить число степеней свободы до трех.

В общем случае легко видеть, что

Поскольку эти три скобки не равны нулю, знание трех интегралов площадей не позволяет понизить до трех число степеней свободы. Однако легко видеть, что всякий раз, когда каноническая система будет допускать три интеграла то всегда можно будет найти две комбинации этих интегралов

такие, что

а это позволит понизить число степеней свободы на две единицы.

В рассматриваемом нами случае эти комбинации можно пайти немедленно; достаточно взять и

Тогда будет тождественно выполняться условие

Таким образом, после всех приведений останется лишь четыре степени свободы.

Если вспомнить, что каноническая система с степенями свободы может быть приведена к системе порядка , то можно заключить, что задача трех тел, которой в общем случае соответствуют четыре степени свободы, может быть приведена к системе шестого порядка.

В случае плоского движения она имеет три степени свободы и может быть приведена к системе четвертого порядка.

В частном случае она имеет две степени свободы и может быть приведена к системе второго порядка.