Задача трех тел

162. Выберем в качестве независимых переменных

Так же, как в п. 152, будем отбрасывать лишние индексы и вместо и писать .

Попытаемся теперь удовлетворить уравнениям задачи трех тел, подставляя вместо каждой из этих переменных разложения (4) из п. 152 и (17) из п. 155 и располагая их по степеням и некоторых констант, обозначенных мной в пунктах 152 и 155 через По аналогии с обозначениями п. 159 и во избежание недоразумений я буду здесь обозначать постоянные через

Получим

Прежде всего следует записать уравнение, которое должно быть аналогичным уравнению (6) из п. 158 и уравнению (6) из следующего пункт Таким уравнением будет

вместе с аналогичным уравнением, которое получится, если заменить на к.

К уравнению и интегралу живых сил

добавим следующие уравнения. Во-первых, уравнение

К нему присовокупим еще одно уравнение того же вида, в котором вместо фигурируют .

Условимся раз и навсегда считать, что к каждому уравнению, не симметричному относительно и т. д., необходимо присоединить еще одно уравнение, в котором эти буквы переставлены. Знаки сохраняют тот же смысл, что и в предыдущем пункте.

Во-вторых, у нас еще имеются уравнения, аналогичные уравнениям (4) из п. 159.

Чтобы их получить, положим так же, как и в п. 159,

откуда

Тогда

Ясно, что так же, как и раньше, уравнение

и уравнения (7) являются следствиями уравнений и (8). Следовательно, для решения задачи достаточно найти решение лишь последних уравнений.

Поставленная таким образом задача, сводящаяся к решению этих уравнений, содержит в себе все те трудности, которые мы по отдельности разрешали в предыдущих пунктах настоящей главы, и к ней применимы те же методы.

Для сокращения некоторых выражений я буду применять следующие обозначения:

[ср. разложения (17) п. 155].

Аналогичные обозначения я буду применять не только для но и для других величин.

Условившись об этом, обратим прежде всего в нуль параметр во всех наших уравнениях. Уравнение примет вид

Поскольку постоянная в правой части произвольна, мы удовлетворим этому уравнению, положив равными некоторым произвольным константам. Можно предположить так же, как мы делали ранее, что эти константы не зависят от т. е. что

Затем из уравнения получим

Что же касается уравнения то оно сведется к уравнениям

и

Из уравнений (7) и (8) получим

Этим уравнениям можно удовлетворить, предположив, что величины равны нулю, зависят не от а только от

Определим теперь величину или, точнее,

Поскольку не зависят от из уравнения (6а) получаем

Это означает, что не зависит от а зависит лишь от

Рассмотрим теперь в уравнениях члены первого порядка по Из уравнения получим

Из уравнения следует, что

Первое слагаемое в правой части, очевидно, при при ибо мы знаем, что

По этой же причине, если заменить на получим

Ранее мы видели, что не зависит ни от ни от То же относится и к Следовательно,

Поэтому, переходя в уравнении к средним значениям в правой и левой частях, получим последовательно при

Если перейти к средним значениям в правой и левой частях уравнения то левая часть должна стать произвольной постоянной, значение которой может совпадать со значением константы, входящей в правую часть этого уравнения. В результате получаем соотношение

Предполагается, что в вместо подставлены и В функции переменные исчезают, и становится функцией от Эту функцию можно разлагать по степеням Наименьшую степень в этом разложении будут иметь члены второго порядка, их можно записать в виде

Перейдем теперь к уравнению Рассматривая члены первого порядка по получим

Переходя к средним значениям в правой и левой частях, найдем

Этим уравнением мы воспользуемся для нахождения

Перейдем теперь к уравнениям (7) и (8). Их можно записать в виде

или же, если перейти к средним значениям и учесть, что зависят лишь от

Теперь мы уже в состоянии найти . В самом деле, аналогия с задачей, рассмотренной в п. 159, очевидна.

Переход от рассматриваемой нами сейчас задачи к задаче п. 159 можно совершить, заменив соответственно

на

после чего уравнения становятся соответственно эквивалентными уравнениям (5), (3) и (4) п. 159. Аналогично уравнение (6а), получающееся из уравнения (6а) при замене в последнем на эквивалентно уравнению (6) из п. 159.

Правда, зависит не только от но и от Однако, как мы видели, эти величины должны быть постоянными.

Таким образом, в рассматриваемом случае оказываются применимыми методы п. 159, и мы получаем

Из уравнения следует, что R равно некоторой константе и эта константа должна зависеть от которые являются нашими постоянными интегрирования.

Отсюда следует, что также представляет собой константу. Поскольку и производные от являются константами, правая часть уравнения также будет постоянной. Именно поэтому мы можем приравнять ее

Таким же образом вычислим

Теперь уже полностью известны правые части уравнений в силу чего эти уравнения можно записать в виде

Среднее значение правых частей этих уравнений равно нулю ввиду уравнений Поэтому мы можем вычислить исходя из уравнений

и, следовательно,

Лучше поступить иначе.

Приравняв в правой и левой частях уравнения

члены, стоящие при получим

откуда найдем

При из уравнения получим

откуда

Тогда, поскольку функция известна, а постоянная в правой части уравнения была несколько выше выбрана нами произвольно, из уравнения следует

Из этого уравнения находим

а следовательно, и

Поскольку как я уже говорил ранее, представляют собой константы, которые можно выбирать произвольно, величины и известны.

После этого из уравнения получаем

либо, если перейти к средним значениям и принять во внимание, что производная не зависит от 1%,

либо же, вычитая и принимая во внимание, что разность известна,

Таким образом, мы получаем цепочку линейных уравнений, из которых находим

Заметим, что уравнение

полученное из уравнения

путем приравнивания коэффициентов, стоящих при является следствием уравнений , и предшествующих им уравнений (4а), (4b), (1а), (7а), (8а), (6а), которые уже удовлетворены.

Это почти очевидно, и я еще вернусь к этому в дальнейшем. Затем отсюда легко выводятся уравнения

С другой стороны, поскольку сумма

известна из уравнение можно записать в виде

В силу уравнения среднее значение Ф равно нулю. Из этого уравнения мы получаем

Таким же образом находим

Рассмотрим теперь в напшх уравнениях члены второго порядка по . Прежде всего из уравнения найдем

Аналогично из уравнения получим

Вычислим средние значения правой и левой частей этого уравнения. Я утверждаю, что среднее значение правой части равно

В самом деле, нам известны и, следовательно, Из рассмотрения уравнения ясно, что

С другой стороны,

Первое слагаемое в правой части известно, ибо и известны с точностью до функции от Второе слагаемое равно нулю, так как

Поэтому окончательно имеем

Вычислим теперь средние значения правой и левой частей уравнения Мы только что нашли среднее значение Рассмотрим какое-нибудь слагаемое в правой части, например,

Тогда

Производя те же операции над остальными слагаемыми в уравнении получим только известные функции Ф и произвольные постоянные и найдем

В самом деле, известно, что

Перейдем теперь к уравнению (7) и посмотрим, что можно из него извлечь Во-первых, из левой части получим

Если при вычислении среднего значения мы учтем, что равно нулю как среднее значение производной, взятой по или по то получим

В правой части мы прежде всего рассмотрим член с откуда найдем

или

и среднее значение будет иметь вид

Аналогичные вычисления произведем и для Это позволит нам записать те соотношения, которые следуют из уравнений (7) и (8), если в правой и левой их части выделить члены второго порядка по Имеем

где правые части уравнений (22) из п. 155, из которых нетрудно получить уравнения (7е) и (8е). К уравнениям (7е) и (8е) добавим еще следующее уравнение, получающееся при взятии среднего значения в уравнении

Теперь мы с помощью уравнений (4е), (7е), (8е), (6с) найдем величины

Не все из взятых нами уравнений различны — в главе XIV мы видели, что эти же величины можно найти, используя одни лишь уравнения (22) из п. 155, эквивалентные уравнениям (7е) и (8е).

Однако я хотел бы указать другой метод, использующий лишь уравнения (4е), и (8е), который более тесно связан с методом, применяемым в настоящей главе.

В связи с этим представляло бы интерес доказательство того, что уравнение (7е) можно вывести из уравнений (4е), (6с) и (8е), а для этого необходимо рассмотреть более подробно, каким образом можно получить уравнения (7) из уравнений Рассмотрению этого вопроса, несколько уводящего нас в сторону от основной темы, и будут посвящены следующие пункты.

163. Вернемся к задаче и обозначениям п. 158. Наши ссылки будут относиться только к нему.

Всякое же обращение к другим пунктам будет оговариваться особо. В начале п. 158 мы доказали, что уравнение (2) является следствием уравнений (1), (3), (4) и (6). Однако можно поставить следующий вопрос.

Предположим, что уравнения, полученные из уравнений (1), (3), (4) и (6) приравниванием членов, не зависящих от затем членов первого, второго и т. д. порядка относительно до порядка включительно, стоящих в их левых и правых частях, удовлетворены. Не следует ли отсюда, что при этом будут удовлетворены и уравнения, полученные из уравнения (2) приравниванием членов нулевого, первого, второго,..., -го порядка относительно в его правой и левой части? Иначе говоря, я предполагаю, что уравнения (1), (3), (4) и (6) удовлетворяются с точностью до т. е. так, что после подстановки в них нашего приближенного решения разность между их правой и левой частью будет делиться на Не следует ли отсюда, что и уравнения (2) удовлетворяются с точностью до членов порядка? Если уравнения (1), (3), (4) и (6) удовлетворяются с точностью до членов порядка, то точно так же будут выполняться и уравнения, получающиеся из них с помощью дифференцирования, сложения или умножения, такие, как, папример, уравнения (7) и (8). Поэтому уравнения (7) и (8) будут выполняться с той лишь разницей, что в их правой части вместо 0 будет стоять функция, допускающая разложение по степеням которая делится на

Таким образом,

где делится на Отсюда можно заключить, что разность

равна некоторой функции, также допускающей разложение по степеням и делящейся на при условии, что определитель, составленный из производных на делиться не будет. Но именно так и происходит, ибо этот определитель равен 1 при .

Итак, уравнения (2) удовлетворяются с точностью до членов порядка относительно что и требовалось доказать.

Обратимся теперь к задаче . Предыдущие рассуждения применимы в этом случае без всяких изменений, но нам следует поставить еще один вопрос.

Помимо уравнений, получаемых из уравнений (2), (4), (6) путем приравнивания в их правой и левой частях коэффициентоь при мы можем рассмотреть еще и такие уравнения, которые можно получить, приравнивая средние значет правой и левой частей.

Я предполагаю, что уравнения (4) и (6) выполняются с точностью до членов порядка относительно Отсюда следует, как мы

только что видели, что и уравнения (2) также выполняются с точностью до членов порядка относительно

Более того, я предполагаю, что удовлетворяются уравнения, полученные следующим образом: в уравнениях (4) и (6) мы приравняли коэффициенты при а затем заменили правую и левую части уравнения их средними значениями. Следует ли отсюда, что уравнение, получаемое таким же способом из уравнения (2), будет также удовлетворяться?

Наше предположение можно сформулировать следующим образом. Уравнения (4) и (6) удовлетворяются не точно, а так, что разность между их правой и левой частью является периодической функцией от допускающей разложение по степеням делящейся на и такой, что ее среднее значение по делится на

Всякую функцию, удовлетворяющую этим условиям, я буду обозначать символом Н. Отсюда следует, что сумма двух функций Н есть функция Н и производная от Н по или есть снова функция Н. Наконец, если мы умножим Н на некоторую функцию К, периодическую по и разлагающуюся по степеням то их произведение также будет функцией Н при условии, что при функция К зависит не от а только от В этом случае

и

потому что или при равны нулю и, следовательно, не зависят от

Отсюда следует, что правая часть уравнения (8) также будет функцией

Н. Поскольку при дифференцировании уравнения (4) мы получим

будет выполняться соотношение

где функция

Отсюда следует

где определитель, составленный из Разумеется, в него входят Что же касается то это — миноры определителя А.

При определитель минор равен 1 либо 0, следовательно, не зависит от Но тогда

что и требовалось доказать.

164. Обратимся теперь еще раз к гипотезам п. 159. Мы будем придерживаться тех же обозначений и условимся, что рассмотрение будет затрагивать только уравнения этого пункта. Речь идет о том, чтобы установить:

1) что уравнения (3) можно вывести из уравнений (4), (5) и (6) (несколько выше мы привели это утверждение без доказательства, но теперь я приведу доказательство, поскольку оно понадобится в дальнейшем);

2) что если уравнения (5) и (6) удовлетворяются с точностью до членов порядка относительно а уравнения (4) — с точностью до членов порядка, то уравнения (3) будут выполняться с точностью до членов порядка или, иначе говоря, уравнения (13) и (14) будут следствиями уравнений (7), (8) и (9).

Уравнения (6) означают, что является точным дифференциалом, и позволяют записать, что

откуда так же, как в п. 158, следует, что

С другой стороны, уравнение (5), продифференцированное по дает уравнение

Введем теперь следующие обозначения:

В новых обозначениях уравнения (3) и (4) запишутся соответственно в виде

Уравнение перейдет в уравнение

а уравнение (7) — в уравнение

Я утверждаю, что из уравнений и (7) можно вывести уравнение Действительно, из уравнений получим

и, наконец,

Поскольку определитель, составленный из У, отличен от нуля, получаем

что и требовалось доказать.

Предположим теперь, что уравнения (4) выполняются с точностью до членов порядка относительно а, а уравнения (5) и (6) — с точностью до членов порядка.

Тогда уравнения будут выполняться с точностью до членов порядка, а уравнение с точностью до членов порядка. Поскольку разложение X начинается с членов первого порядка, то, умножив уравнение на получим уравнение, которое будет выполняться с точностью до членов порядка.

Отсюда следует, что уравнения и будут удовлетворяться с точностью до членов порядка. Я утверждаю, что в силу этого уравнение будет выполняться с точностью до членов порядка.

В самом деле, положим пока

так что члены порядка относительно будут делиться на

Затем я установлю, что

Остается показать, что при величина остается конечной.

Уравнение выполняется с точностью до членов порядка. Имеем

При функции остаются конечными, откуда

Отсюда следует, что остается конечным при при условии, если определитель, составленный из не обращается в нуль при

Но этот определитель при равен

Следовательно, он отличен от нуля, что и требовалось доказать.

165. Теперь я возвращаюсь к задаче . Мне осталось показать, что уравнение (7е) следует из уравнений (4е), и (8е), разумеется, если предположить, как мы делали раньше, что предварительно мы уже удовлетворили уравнениям (4а), (4b), (6а), (6b), (8а), (8b), (la), (lb).

Эти предположения можно выразить следующим образом. Утверждение о том, что выполняются уравнения (4а), (4Ь) и (4е), означает, что

Я обозначаю символом Н любую функцию, допускающую разложение по возрастающим степеням и и периодическую по шиш, и символом любую функцию Н, среднее значение которой обращается в нуль при Отсюда следует

Утверждение о том, что уравнения выполняются, равносильно утверждению о том, что

откуда в силу того, что производная обращается в нуль при

Перейдем к уравнениям, выводимым из уравнений

Мы предполагаем, что уравнения удовлетворяются, но этого недостаточно. В самом деле, при выводе уравнения (4е) мы использовали уравнение или, вернее, уравнение (6е), которое получается, если приравнять средние значения правой и левой частей уравнения

Итак, мы исходим из предположения о том, что уравнение (6е) удовлетворяется. Однако с уравнением (6е), которое получилось бы из него, если бы мы заменили на дело обстоит иначе. Как выразить все, что было сказано, на языке новых обозначений?

Поскольку уравнения (6а), (6Ь) и (6е) удовлетворяются, имеем

причем С пока что означает правую часть уравнения Если мы произведем замену переменных на и обозначим то, что при этом получится из символом то обнаружим, что

Среднее значение функции Н не равно нулю при , поскольку не предполагается, что уравнение (7е) выполнено.

Если продифференцировать первое из этих уравнений по а второе — по и вычесть одно из другого, то

Аналогично

но в соотношении

среднее значение функции Н не обращается в нуль при Однако если это соотношение умножить на величину которая обращается в нуль при то

Следовательно, мы получаем уравнение

вместе с аналогичным уравнением, которое получается из него при замене на

Это позволяет нам записать уравнение

вместе с уравнением, которое можно из него получить заменой на Так же, как и в предыдущем пункте, введем обозначения

вместе с аналогичными уравнениями, в которых вместо и У фигурируют те же самые буквы, но со штрихами.

Тогда уравнения (а) и (7) запишутся в виде

(к ним следует еще присоединить аналогичные уравнения, в которых заменены штрихованными величинами).

С другой стороны, предположив, что уравнения (8а), (8Ь) и (8с) выполняются, получим

Комбинируя все выписанные уравнения, найдем

(плюс еще одно уравнение, в котором и заменены соответствующими величинами со штрихами).

При этом получим некоторую систему линейных уравнений, из которой можно найти

Во что обратятся коэффициенты этих уравнений и определитель всей системы при

Производные обратятся в нуль, за исключением производных которые станут равными 1. Величины обратятся в нуль. Что же касается величин

то они не зависят от и

Следовательно, определитель системы и его миноры при не зависят от кроме того, этот определитель не обращается в нуль.

Итак, мы получаем

Это означает, что уравнения (7а), (7Ь), (7е) удовлетворяются, что и требовалось доказать.

Мне остается еще показать, что, уравнение из является следствием уравнений (1а), (7а), (8а), (6а) и как я и утверждал выше.

Из уравнений (4а) и (4Ь) следует

где А — левая часть уравнения (а).

Из уравнения (1а) вытекает

и

Перейдем к уравнениям, выводимым из уравнения Поскольку уравнения (6а) и выполняются, имеем

Аналогично уравнение (6а) выполняется, но уравнение удовлетворяется лишь с точностью до некоторой функции от В самом деле, уравнение мы вывели из уравнения , эквивалентного уравнению, вычтя из него другое уравнение, обе части которого были неизвестными функциями от Следовательно, я могу записать

Здесь К не зависит от

Отсюда следует

или, поскольку делится на

или же, наконец,

где С — левая часть уравнения , точнее, левая часть этого уравнения, в котором заменено на

Из уравнений (7а), (8а) и найдем

Затем, комбинируя наши уравнения, получим

линейные уравнения, откуда так же, как и раньше, найдем

что и требовалось доказать.

166. После столь долгого отступления я вновь возвращаюсь к задаче п. 162 и продолжу ее рассмотрение с того самого места, на котором остановился. Речь шла о том, чтобы найти с помощью уравнений (4е), (8е) и

Для этого мы предположим, что обе части наших уравнений разложены по степеням и приравняем в правой и левой частях члены одинакового порядка.

Уравнение (4е) начинается с членов первого порядка; приравнивая члены первого порядка, получим

Разложение правой части уравнения начинается также с членов первого порядка, и мы найдем

Отсюда получим, приравняв члены первого порядка,

или

Таким образом, получаем из уравнения соотношение

позволяющее найти и, следовательно,

Нам остается найти и удовлетворить тому уравнению которое получается путем приравнивания в уравнении (8е) членов нулевого порядка относительно Собственно, для этого достаточно уравнения если мы вспомним, что должны быть константами, ибо разлагаются по степеням причем члены этих разложений нулевого порядка относительно должны быть независимыми

Что теперь представляет собой функция Ф в правой части уравнения Очевидно, что для получения этой функции необходимо следующее: взять функцию — заменить в ней переменные переменными , вычислить среднее значение получившейся при этом функции,

в этом среднем значении рассмотреть члены первого порядка относительно о и произвести замену а? и на После этого функция Ф будет иметь вид

где константы. Уравнение запишется тогда в виде

Так как должны быть константами, то этому уравнению можно удовлетворить, лишь положив константу в правой части равной нулю и выбрав

Кроме того, я утверждаю, что таким же образом можно удовлетворить и уравнению ибо этим способом можно удовлетворить уравнениям (23) из п. 155. Уравнение же есть не что иное, как простая комбинация этих уравнений, получающаяся при сложении этих уравнений, после предварительного умножения их на

Приравняв теперь в уравнении (4е) члены второго порядка, получим

Приравнивая точно так же члены второго порядка в уравнении получим

Но тогда уравнение можно переписать в виде

откуда найдем и, следовательно,

Рассмотрим теперь уравнение получающееся путем приравнивания в уравнении (8е) членов первого порядка. Но его точно так же можно было бы получить, положив в уравнениях (25) п. 155 , умножив первое из них на а второе на и сложив.

Проделав эти операции и принимая во внимание, что константой, которую мы в п. 155 обозначали теперь является а, получим

Теперь нам известны следовательно, уравнение запишется в виде

Величины определяются так, чтобы среднее значение правой части было равно нулю, после чего нетрудно найти из этого уравнения а следовательно, и

Продолжая в том же духе, находим

Итак, величины известны. Остальные величины вычислим по методу п. 162. Каждую величину следует находить точно так же, как находили величины Единственное отличие состоит в том, что ее порядок (относительно будет на единицу меньше.

Разумеется, следует позаботиться о том, чтобы порядок действий был таким же, как и в п. 162.

Итак, методы, изложенные в главе XV, позволяют достичь тех же результатов, что и методы главы XIV. Некоторые вычисления оказываются более простыми. Кроме того, новые методы обладают одним преимуществом, на которое следует обратить внимание и которым методы, изложенные в предыдущей главе, не обладают. Речь идет о том, что, излагая эти методы, мы одновременно доказываем и возможность их применения. Именно поэтому их можно было излагать, не проходя через промежуто чные этапы в главах XI—XIII и не прибегая к многочисленным заменам переменных, которые мы вынуждены были производить в этих главах. Эти замены переменных были целесообразны при проведении доказательств, но отнюдь не для вычислений.