Приведение задачи трех тел

15. Речь идет о том, как это приведение проделать эффективно. Рассмотрим сначала случай, когда три тела движутся в одной плоскости. Мы видели, что число степеней свободы может быть тогда понижено до трех. Попытаемся фактически выполнить это приведение.

Мы видели, что уравнения движения можно записать в виде:

Кроме того,

откуда получаем интеграл площадей

где С — постоянная. Положим

откуда (если заменить их значениями в виде функций от получим

и уравнения движения примут вид

Осталось лишь три степени свободы.

16. Перейдем к общему случаю, когда число степеней свободы должно быть понижено до четырех. Уравнения тогда имеют вид

Кроме того, имеются три интеграла площадей, которые, если взять в качестве первой координатной плоскости плоскость максимума

площадей, записываются в виде

Кроме того, имеем

откуда видно, что зависит не от 0 и 0, а лишь от их разности, но так как эта разность равна нулю в силу интегралов площадей, можно рассматривать как функцию, не зависящую ни от 0, ни от 0.

Так же находим

откуда

и

Положим теперь

откуда

и

откуда

или

или, наконец, в силу уравнения (2)

и также

Постоянную площадей С можно считать заданной. Следовательно, если в заменить и 0 их значениями (3) и будет зависеть лишь от и уравнения движения можно будет записать в виде

Так что остается лишь четыре степени свободы.