Ряды, аналогичные рядам Стирлинга
119. Первым примером, который ясно показал законность использования некоторых расходящихся разложений, явился классический пример ряда Стирлинга. Коши доказал, что члены этого ряда сначала убывают, а затем возрастают, так что ряд расходится. Однако если этот ряд оборвать на самом малом члене, то он будет представлять функцию, рассмотренную Эйлером, причем аппроксимация будет тем лучше, чем больше аргумент.
Впоследствии стали известны многочисленные аналогичные примеры и я сам в т. VIII «Acta mathematica» исследовал важный класс рядов, обладающих теми же свойствами, что и ряд Стирлинга [80].
Я позволю себе привести еще один пример, представляющий особый интерес. Этот пример может понадобиться нам в дальнейшем.
Пусть 
положительное число, меньшее 1.
сходится при всех значениях 
таких, что
Кроме того, эта сходимость абсолютна и равномерна.
С другой стороны,
Поэтому можно попытаться приравнять 
двойному ряду
Но этот ряд не сходится абсолютно. Расположим все же его члены по возрастающим степеням 
и получим
где
Ряд (2), расположенный по возрастающим степеням 
расходится. Предположив для определенности, что 
вещественная положительная величина, получим
Ясно, что ряд
расходится и что a fortiori расходится ряд (2). Однако из рассмотрения ряда
видно, что если выражение 
очень мало, то первые члены этого ряда убывают весьма быстро, хотя последующие члены возрастают неограниченно.
Представляет ли ряд (2) приближенно функцию 
Чтобы ответить на этот вопрос, положим
Я утверждаю, что
В самом деле,
Нетрудно видеть, что ряд
сходится равномерно, следовательно, при 
и, следовательно,
что и требовалось доказать.
