Интегралы, не голоморфные относительно «мю»

87. До сих пор мы предполагали, что наш однозначный интеграл разлагается в ряд по целым степеням Легко распространить результат на случай, когда мы отказываемся от этого предположения.

Предположим, например, что Ф разлагается в ряд по целым степеням сможем записать

где разлагаются в ряды по целым степеням

Если Ф — интеграл, то должно тождественно выполняться равенство

Поскольку разлагаются в ряды по целым степеням [X, должны отдельно выполняться равенства

Следовательно, оба должны быть интегралами. Итак, если доказано, что может существовать однозначного интеграла, разложимого в ряд по целым степеням то тем самым доказано, что не может существовать и однозначный интеграл, разложимый в ряд по целым степеням Более общим образом пусть

— Р любых функций

Предположим, что Ф имеет вид

где А — функции от х и у, не зависящие от

Мы всегда можем предположить, что между функциями (1) нет соотношений вида

где разлагаются в ряды по степеням .

Действительно, если бы имело место соотношение (3), то одна из функций содержала в качестве множителя, поскольку если бы все эти функции содержали множитель то мы разделили бы левую часть (3) на

Предположим, например, что не обращается в нуль вместе с тогда можно разрешить уравнение (3) относительно и мы получим

где разлагаются в ряды по степеням Если заменить в выражении (2) полученным значением, то мы сократим на единицу число функций (1).

Итак, предположим, что эти функции не связаны соотношением вида (3).

Мы сможем записать

где разлагаются в ряды по степеням Если Ф — интеграл, то

Я утверждаю, что по отдельности

Действительно, в противном случае, поскольку величины разлагаются в ряды по степеням соотношение (4) имело бы вид (3), а это противоречит только что сделанному предположению. Следовательно, соотношения (5) имеют место.

Итак, интегралы.

Таким образом, если бы мы показали, что не может быть однозначного интеграла, разлагающегося в ряд по степеням то мы бы доказали, что нет также однозначного интеграла вида (2).

Я добавлю, что это рассуждение можно применить, когда имеется бесконечное число функций (1).