Глава V. НЕСУЩЕСТВОВАНИЕ ОДНОЗНАЧНЫХ ИНТЕГРАЛОВ

81. Рассмотрим вновь наши канонические уравнения

Я предполагаю сначала, что функция не зависящая от зависит переменных и что ее гессиан по этим переменным не равен нулю.

Я собираюсь доказать, что за исключением некоторых особых случаев, которые будем изучать в дальнейшем, уравнения (1) не допускают никаких других аналитических однозначных интегралов, кроме интеграла

Вот что я понимаю под этим.

Пусть Ф — аналитическая и однозначная функция которая, кроме того, должна быть периодической по у.

Не обязательно предполагать, что эта функция аналитична и однозначна при всех значениях переменных

Я предполагаю лишь, что эта функция аналитична и однозначна для всех действительных значений переменных у, для достаточно малых (я и для систем значений х, принадлежащих некоторой области впрочем, область может быть произвольной и сколь угодно малой. В этих условиях функция Ф разлагается в ряд по степеням и можно записать

где однозначны относительно х и у и периодичны по

Я утверждаю, что функция Ф такого вида не может быть интегралом уравнений (1).

Необходимое и достаточное условие того, чтобы функция была интегралом, записывается в обозначениях п. 3 в виде

или, если заменить их разложениями,

Таким образом, мы имеем в отдельности следующие уравнения, которые я использую в дальнейшем:

и

Я утверждаю, что всегда можно предполагать, что не является функцией от Действительно, предположим, что

Я утверждаю, что будет, вообще говоря, однозначной, когда переменные х остаются в области . В самом деке, мы имеем

Можно разрешить это уравнение относительно и записать

будет однозначной функцией, если только не обращается в нуль внутри области

Заменяя его значением 0 в

получаем

однозначная функция х и у; если заменить в ней однозначной функцией 0, то получим однозначную функцию от у, но по предположению эта функция зависит ли от Следовательно, — однозначная функция

Все это так в предположении, что не обращается в нуль области равным образом достаточно, чтобы одна из производных не обращалась в нуль в области

Теперь, если Ф — однозначный интеграл, то такова же и разность

разлагается в ряд по степеням и, кроме того, делится на поскольку равно нулю. Итак, положим

Ф будет однозначным и аналитическим интегралом вида

Вообще говоря, не будет функцией если бы это было так, то можно было проделать все сначала.

Я утверждаю, что, повторяя таким образом эту операцию, мы в конце концов придем к интегралу, не сводящемуся к функции от при если только Ф не будет функцией от в последнем случае интегралы не были бы различными.

Действительно, пусть якобиан, или функциональный определитель Фипо двум из переменных х и у. Я могу предположить, что этот якобиан не равен тождественно нулю, поскольку если бы все якобианы были равны нулю, то Ф была бы функцией от а этот случай мы исключаем.

Очевидно, разлагается в ряд по степеням Кроме того, обращается в нуль вместе с поскольку есть функция от Следовательно, делится на некоторую степень например на

Пусть теперь функциональный определитель, или якобиан функций тогда

так что делится только на

Таким образом, через самое большее операций мы придем к якобиану, который уже не будет обращаться в нуль одновременно с и который, следовательно, будет соответствовать интегралу, не сводящемуся при к функции от

Следовательно, если существует аналитический и однозначный интеграл Ф, отличный от но такой, что является функцией от 0, то всегда можно найти другой интеграл того же вида, не сводящийся к функции от при

Таким образом, мы всегда имеем право предполагать, что не является функцией от

82. Я утверждаю теперь, что Ф. не может зависеть от переменных у.

Действительно, если зависит от переменных у, она будет периодической функцией этих переменных, так что мы сможем записать

где положительные или отрицательные целые числа, А — функции от есть краткое обозначение экспоненты от мнимого аргумента, на которую множится А.

Теперь мы имеем

поскольку не зависит от у и равны нулю.

С другой стороны,

так что уравнение (2) имеет вид

и, поскольку это равенство должно выполняться тождественно, мы будем иметь для всех систем целых значений

так что тождественно выполняется одно из равенств

или же

Из тождества (5) выводим с помощью дифференцирования

Но это может иметь место лишь в двух случаях: если

или если гессиан функции равен нулю. Однако мы предположили вначале, что гессиан не равен нулю. Следовательно, А должно быть тождественным нулю, за исключением того члена, где все равны нулю. Иными словами, сводится к одному члену, не зависящему от у, что и требовалось доказать.

Изучим теперь уравнение (3). Поскольку не зависят от у, это уравнение можно записать в виде

С другой стороны, периодические по у функции и, следовательно, они разлагаются в ряды по экспонентам вида

где положительные или отрицательные целые числа.

Для краткости я буду обозначать, как и выше, эту экспоненту через и буду писать

где коэффициенты, зависящие только от х.

Тогда

так что уравнение (3), разделенное на запишется в виде

Поскольку это уравнение оказывается тождеством, мы должны иметь при всех системах целых значений

Соотношение (6) должно выполняться при всех значениях х. Дадим теперь х такие значения, что

тогда правая часть соотношения (6) обращается в нуль. Следовательно, каждый раз, когда х удовлетворяют уравнению (7), должно выполняться равенство

или же равенство

Функция задана, следовательно, заданы и коэффициенты В. Поэтому легко распознать, следует ли из равенства (7) равенство (8). Вообще говоря, это окажется не таки придется заключить, что равенство (9) с необходимостью вытекает из равенства (7).

Пусть некоторые целые числа. Представим себе, что мы дали х такие значения, что

Можно найти бесконечное число систем целых чисел таких, что

Для каждой из этих систем целых чисел должно выполняться равенство

и, следовательно,

Сравнение этих двух уравнений показывает, что

т. e. что якобиан и по любым двум из величин а; должен быть равен нулю.

Так должно быть для всех значений х, которые удовлетворяют соотношениям вида (10), т. е. для всех таких значений, что соизмеримы между собой. В произвольной области, как бы мала она ни была, имеется, следовательно, бесконечное число систем значений х, для которых этот якобиан обращается в нуль, и поскольку этот якобиан — непрерывная функция, то он должен быть тождественным нулем.

Равенство всех якобианов функций нулю означает, что есть функция от Однако это противоречит выводу, сделанному нами в конце предыдущего пункта. Следовательно, мы должны заключить, что уравнения (1) не допускают другого однозначного интеграла, кроме , что и требовалось доказать.