Асимптотические решения уравнений динамики

107. Вернемся к уравнениям (1) из п. 13

и предположениям, сделанным на их счет в этом пункте.

В п. 42 мы видели, что эти уравнения допускают периодические решения, и мы можем из этого заключить, что если хотя бы один из соответствующих характеристических показателей а веществен, то эти уравнения допускают также асимптотические решения.

В конце предыдущего пункта мы рассмотрели случай, когда в уравнениях (1) п. 104 правые части разлагаются в ряды по степеням но характеристические показатели остаются различными при

В случае уравнений, которыми мы сейчас займемся, т. е. уравнений (1) п. 13, правые части также разлагаются в ряды по степеням одпако все характеристические показатели равны нулю при

Отсюда следует большое число важных различий.

Прежде всего, характеристические показатели а разлагаются в ряд не по степеням а по степеням (см. п. 74). Точно так же функции, названные мною в начале п. 104 (которые в интересующем нас частном случае уравнений динамики совпадают с функциями и из п. 79), разлагаются в ряд не по степеням [X, а по степеням

Тогда в уравнениях (2) п. 104

правая часть разлагается в ряд по степеням (а не ).

Отсюда можно найти в виде рядов, полученных в п. 104

а разлагаются в ряды по степеням

Тогда естественным образом возникают несколько вопросов.

1. Мы знаем, что разлагаются в ряды по степеням разлагается ли в такой ряд их отношение

2. Если это так, то существуют ряды по степеням которые формально удовлетворяют предложенным уравнениям; сходятся ли эти ряды?

3. Если они не сходятся, какую пользу можно извлечь из них для вычисления асимптотических решений?