Пршожения к задаче трех тел

28. Результаты предыдущего пункта, очевидно, остаются в силе, когда вместо одного произвольного параметра имеется несколько. Вот как мы собираемся использовать этот результат. В п. 27 мы рассмотрели лишь частное решение, для которого начальные значения х и у равны нулю. Предположим, что мы рассматриваем частное решение, для которого эти начальные значения равны и собираемся разложить это решение в ряд по степеням

Но мы можем идти еще дальше: вернемся к уравнению (1) предыдущего пункта и рассмотрим частное решение, такое, что

при попробуем затем разложить значения х и у при в ряд по степеням

Затем положим

уравнения (1) примут вид

Мы можем здесь рассматривать как переменные, а как четыре произвольных параметра.

Рассматриваемое нами частное решение таково, что при

и, следовательно,

Кроме того, нам надо вычислить значения х и у при т. е. при

Таким образом, мы снова возвращаемся к случаю, изученному в предыдущем пункте, и видим, что х и у разлагаются в ряд по степеням если только модули этих величин достаточно малы. Все это верно при единственном условии, что частное решение, для которого начальные значения х и у равны нулю и в котором, кроме того, предполагается, что не проходит ни через одну особую точку.

Применим это к уравнениям п. 13

где

и где не зависит от у.

F будет функцией х и у, голоморфной всюду, кроме некоторых особых точек. Может получиться так, что если придать х значения

то функция убудет голоморфной для всех значений у.

Представим себе, что поставлена следующая задача. Рассмотрим частное решение, такое, что при

и рассмотрим, в частности, значения переменных при

необходимо разложить эти значения в ряд по степеням .

Это разложение будет возможным; действительно, если положить одновременно

то частное решение сведется к

(где - значение при и, как мы только что предположили, это решение не проходит ни через одну особую точку.

Посмотрим, что происходит в частном случае задачи трех тел. Функция может перестать быть голоморфной лишь в случае, когда два из трех тел столкнутся. Частное решение, которое мы рассматриваем, представляет собой при совокупность двух кеплеровых эллипсов, описываемых двумя малыми массами под действием притяжения массы, равной единице и расположенной в начале координат. Для того чтобы могло произойти столкновение, нужно, чтобы эти два эллипса пересекались, чего никогда не бывает в астрономических приложениях.

Следовательно, мы приходим к такому заключению.

В задаче трех тел положение системы задается двенадцатью переменными, определенными в п. 11. Задаются значения этих переменных при и спрашивается, каковы будут значения этих переменных в момент Мы только что видели, что эти значения разлагаются в ряды по степеням масс,

Есть только один исключительный случай. Предположим, что при начальные значения переменных равны при нулевых массах движение продолжается по законам Кеплера; если при этих условиях столкновение происходит до момента , то сказанное выше не будет верным.

Таким образом, можно было бы оценить снизу время, в течение которого пригодно разложение координат планет в ряды по степеням масс, но полученный предел будет слишкгм далек от точного предела, чтобы такое вычисление представляло интерес.