Приведение к каноническому виду

113. Заметим, что уравнения (14), а также уравнения (21) можно привести к каноническому виду

Действительно, если мы положим, как в начале п. 110,

то канонические уравнения движениг

принимают вид

где определена следующим образом.

Если в функции заменить и на , то полученная функция разлагается в ряд по степеням и причем коэффициенты периодичны по Пусть теперь сумма членов степени 0 и 1 по и ту, положим

Если обозначим через и некоторые виртуальные приращения и а через соответствующее приращение , то эти уравнения можно

будет записать в виде

Что станет с этим уравнением, если взять за новые переменные величины

Принимая обозначения, аналогичные обозначениям , мы положим

и определим также

Из мы знаем, что все эти величины равны нулю, за исключением которые постоянны. Эти постоянные должны делиться на а, но они могут быть в остальном произвольными, поскольку определены лишь с точностью до постоянного множителя. Следовательно, мы можем положить

Если, с другой стороны, заметить, что

то можно заключить, что

где через обозначено линейное как по так и по однородное выражение, причем коэффициенты этой билинейной функции периодичны по

Я утверждаю, что точный дифференциал; в самом деле, уравнения (14) нам дают

где точный дифференциал функции

и где

Я утверждаю, что точный дифференциал; чтобы в этом убедиться, достаточно заметить, что в этом выражении члены первой степени по сводящиеся к являются полным дифференциалом и то же самое верно для членов степени выше первой, поскольку точный дифференциал и содержит лишь члены первой степени.

Итак, мы можем положить

где

причем обозначает множество членов степени выше второй по

Следовательно, мы можем записать

Вспоминая, что 0 зависят от не только непосредственно, но и через мы запишем эти уравнения в виде

к которым надо добавить два аналогичных уравнения, получающиеся из предыдущих при замене на

Таким образом, мы привели уравнения (14) к каноническому виду. Надо то же самое сделать и с уравнениями (21).

Если в Ф заменить их значениями (17), то полученная функция разлагается в ряд по возрастающим степеням а и если затем мы обозначим через множество членов степени по меньшей мере по а, то наши уравнения превратятся в

и два аналогичных уравнения.

Таким образом, мы привели уравнения (21) к каноническому виду.