Исключение

33. Рассмотрим теперь уравнение

и представим себе, что если у и х обращаются в нуль, то обращается в нуль вместе со своими первыми производными по у, а производная не обращается в нуль.

В начале моей диссертации о функциях, определяемых с помощью уравнений в частных производных (Paris, Gautier-Villars, 1879) я доказал, что подобное уравнение можно преобразовать в другое, имеющее следующий вид:

где многочлен степени от у, коэффициент при равен единице, а остальные коэффициенты голоморфны по х.

Если предположить, что то это уравнение сведется к виду:

и мы снова вернемся к теореме .

В этой же диссертации я доказал (лемма IV, стр. 14), что если голоморфных функций от если эти функции обращаются в нуль, когда все z их равны нулю, если уравнения

остаются различными, когда все х равны нулю; если, наконец, z определяются как функции от х уравнениями (2), то таким образом определенных функций являются алгеброидными. Это означает, в терминах цитированной диссертации, что уравнения (2) можно заменить уравнениями

того же вида, но левые части которых являются целыми многочленами относительно z.

Пусть теперь имеем два совместных уравнения

определяющих у и z как функции от х. Я предполагаю, что левые части голоморфны по х, у и z и обращаются в нуль одновременно с этими тремя переменными.

Одно из двух: либо, когда х равно нулю, оба уравнения остаются различными, тогда, как мы только что показали, можно заменить эти два

уравнения двумя другими, им эквивалентными

левые части которых будут целыми многочленами от у и z; можно из этих двух уравнений, ставших алгебраическими по неизвестным у и z, исключить, например, z и прийти к единственному уравнению

Либо, когда х равно нулю, два уравнения (3) совпадают. Но тогда представиться два случая.

Либо можно найти такое число а, что уравнения (3) остаются различными, если положить . Тогда, если мы положим уравнения остаются различными при и мы приходим к предыдущему случаю. Можно исключить z из обоих уравнений (3) и свести их к единственному уравнению между х и у или, что то же самое, между х и у.

Либо нельзя найти такого числа а; но это может случиться, лишь если уравнения (3) не являются различными; таким образом исключение возможно во всех случаях, кроме последнего.

Вообще, пусть

уравнений, левые части которых голоморфны и которые определяют z как функции от если эти уравнения различны, то можно всегда исключить из этих уравнений и свести их к единственному уравнению вида

Я предполагаю, что уравнения (4) все еще различны при и, следовательно, не делится на х.

Я предполагаю, что обращаются в нуль вместе с так что

решение системы (4) при решение уравнения (5).

Если решение порядка уравнения (5), я буду называть решение (6) решением порядка системы (4).

Если решение нечетного порядка, мы можем утверждать, что уравнение (5) и, следовательно, система (4) допускают действительные решения и при малых значениях х.