Второй метод

223. Вычисления можно проводить и в ином порядке и вместо того, чтобы использовать уравнение (5) п. 220, рассматривать непосредственно уравнение которое запишем здесь снова:

Мы будем пользоваться обозначениями п. 221 и в качестве переменных выберем величины

определенные там же. Посмотрим, какой вид примет тогда уравнение

1. Обе части этого уравнения не зависят от и в отдельности, а зависят лишь от

где целые числа, определенные в п. 221. Действительно, при вычислении мы оставляли в члены, зависящие от и вычеркивали члены, зависящие от и каким-либо иным способом.

2. Обе части этого уравнения зависят от и однако эти величины следует заменить постоянными и аналогичными При этом коэффициент А становится постоянным.

3. Они периодичны по и .

4. Их можно разложить по целым степеням и дробным степеням Последнюю величину следует заменить производной

Таким образом, уравнение можно записать в виде

Рассмотрим разложение функции Н по степеням Член, не зависящий от будет иметь вид

Слагаемое определенное так же, как в п. 221, является постоянной, зависящей лишь от и

Член с равен нулю (если только сумма не равна но этот случай мы не рассматриваем).

Член с имеет вид

Первый член, зависящий от есть член с

Уравнение (4а) можно решить следующим образом. Разложим функцию в ряд по степеням

Точно таким же образом разложим

Подставляя разложение и разлагая получим

Прежде всего мы найдем, что

откуда следует, что производная равна некоторой постоянной. Пусть

где а — некоторая постоянная, зависящая от постоянной интегрирования Далее имеем

откуда следует, что производная также равна некоторой постоянной. Не ограничивая общности, можно предположить, что и равны нулю. В результате получим

Из этого уравнения следует, что производная также равна некоторой постоянной, которую, не ограничивая общности, также можно считать равной пулю. Остается уравнение

Из него следует, что производные представляют собой постоянные, которые можно выбирать произвольно, поскольку произвольна. Далее имеем

В этом случае мы, не ограничивая общности, можем предположить, что и равны нулю. Затем получим уравнение

И в этом случае предполагаем, что равно нулю и приходим к уравнению

из которого без труда можно найти ибо в уравнение не входит.

Так продолжается до тех пор, пока не дойдем до члена с Пусть тогда

Коэффициенты зависят от Их можно считать известными.

Что же касается члена то

где известная функция от .

Следовательно, мы можем разбить написанное выше уравнение на два и записать

Правые части этих уравнений известны, в результате чего без труда находим Очевидно, производные функции будут

периодическими по Не ограничивая общности, можно подобрать так, чтобы среднее значение было равно нулю, тогда и сама функция будет периодической. Что же касается то ясно, что это периодическая по функция.

Дальше продолжим следующим образом. Приравнивая коэффициенты при находим

где Ф — известная функция, периодическая по Предположим, что функция Ф разложена в тригонометрический ряд, а выбрана так, что среднее значение правой части равно нулю.

Положим далее

где Ф означает совокупность членов, зависящих от совокупность членов, от не зависящих, так что

Разобьем уравнение (13) на два:

Эти уравнения позволяют получить Обе найденные функции будут периодическими.

Проинтегрировав таким образом уравнение из п. 220, мы найдем из уравнения (4) разность после чего перейдем к уравнениям (6) и (7).

Уравнение (7) будем решать так же, как уравнение Обе части уравнения (7) разложим по степеням Кроме того, разложим [5а] и

Затем в правой и левой части уравнения (7) приравняем коэффициенты при одинаковых степенях и получим цепочку уравнений, с помощью которых последовательно найдем

Приравнивая коэффициенты при получаем уравнение, из которого находим Это уравнение имеет тот же вид, что и уравнение (13).

Единственное отличие состоит в том, что вместо в него входят Поэтому его решают так же, как уравнение (13).

После того как уравнение (7) решено, мы продолжаем точно таким же образом.