Полное вычисление характеристических показателей

79. Рассмотрим снова уравнения (1) п. 74, полагая для определенности

Предположим, что найдено периодическое решение этих уравнении

и попытаемся определить характеристические показатели этого решения. Для этого мы положим

затем составим уравнения в вариациях уравнения (1), которые запишем ввиде

и попробуем проинтегрировать эти уравнения, полагая

где и — периодические функции от Мы знаем, что в общем случае существует шесть частных решений этого вида (поскольку линейные уравнения (2) шестого порядка). Однако важно заметить, что в

рассматриваемом нами частном случае только четыре частных решения имеют эту форму, потому что два из характеристических показателей равны нулю и два частных решения имеют, следовательно, вырожденный вид.

Теперь предположим сначала, что тогда сводится к и зависит только от .

Тогда уравнения (2) сводятся к следующим:

Коэффициенты при во втором уравнении (2) постоянны. В качестве решений уравнений (2) возьмем

где три постоянные интегрирования.

Это решение не самое общее, так как оно содержит лишь три произвольные постоянные, но оно самое общее среди тех, которые можно свести к виду (3). Таким образом, мы видим, что при шесть характеристических показателей равны нулю.

Не будем больше предполагать, что равно нулю. Мы попытаемся теперь разложить не по возрастающим степеням а по степеням записывая

Я намерен прежде всего установить, что разложение возможно.

Мы видели в п. 74, что характеристические показатели а разлагаются в ряд по возрастающим степеням

Покажем теперь, что также разлагаются в ряд по степеням

Действительно, и задаются уравнениями

Пусть — начальное значение — начальное значение значения для некоторого значения разлагаются в силу п. 27

в ряд по степеням Кроме того, в силу линейности уравнений эти значения будут линейными и однородными функциями и

Пусть, если использовать обозначения, аналогичные обозначениям п. 37, - значение значение при Условие периодичности решения таково:

Функции линейны по следовательно, эти уравнения линейны относительно этих величин. Вообще, эти уравнения не допускают другого решения, кроме

так что уравнения (2) не имеют другого периодического решения, кроме

Но нам известно, что если выбрать а так, чтобы удовлетворялось уравнение то уравнения будут допускать другие периодические решения, отличные . Следовательно, определитель линейных уравнений равен нулю. Таким образом, мы можем найти из этих уравнений отношения

в виде рядов по степеням а и

Поскольку остается произвольным, мы условимся брать так что начальное значение будет равно 1. Тогда и разложимы в ряды по степеням а и но и как мы это уже видели, разлагаются в ряды по степеням и, с другой стороны, а разлагается в ряд по степеням

Итак, разлагаются в ряды по степеням что и требовалось доказать.

В частности, мы имеем

Поскольку в силу нашего предположения являющееся начальным значением 711, должно быть равным 1 при любом мы имеем при

Доказав таким образом существование наших рядов, мы постараемся определить их коэффициенты.

Имеем

и

С другой стороны, разложим вторые производные входящие в качестве коэффициентов в уравнения (2), в ряды

Эти разложения содержат лишь целые степени и не имеют в отличие от разложений (4) членов, зависящих от

Мы заметим, что

Подставим в уравнения (2) значения (4) и (5) вместо их производиных и частных производных В выражении (4) я предполагаю, что разложено в ряд по степеням кроме того случая, когда эта величина входит в экспоненциальный множитель

Приравняем коэффициенты при одинаковых степенях и получим ряд уравнений, который позволит определять последовательно

Выпишем лишь первые из этих уравнений, полученных приравниванием свободных членов, членов с членов с и т. д.

Сократим сначала на множитель который встречается всюду.

Приравняем члены с получим

Приравняем члены с получим

и еще три аналогичные уравнения, дающие

Если учесть теперь соотношения (6), уравнения (7) примут вид

Первое из этих уравнений показывает, что постоянны. Что касается второго, то оно показывает, что постоянная, но поскольку Т должна быть периодической функцией, эта постоянная должна быть нулем, так что

что дает три соотношения между тремя постоянными тремя постоянными и неизвестной величиной

Со своей стороны, уравнение (8) запишется в виде

Функции периодические функции разложим их по формуле Фурье и пусть постоянный член Получим

или, учитывая уравнения (9),

Полагая в уравнении , получаем три линейных и однородных соотношения между тремя постоянными Исключая эти три постоянные, получаем уравнение третьей степени, которое определит о.

Если для краткости положим

то уравнение, возникающее вследствие этого исключения, запишется в виде

Его можно еще записать в виде

Определение это единственная часть вычислений, представляющая некоторую трудность.

Уравнения, аналогичные уравнениям (7) и (8), образованные приравниванием в уравнениях (2) коэффициентов при одинаковых степенях позволяют затем определить без труда Итак, мы можем сформулировать следующий результат.

Характеристические показатели а разлагаются в ряд по возрастающим степеням

Итан, сосредоточивая все наше внимание на определении особо изучим уравнение (11). Мы должны постараться прежде всего определить величины

Мы имеем, очевидно,

и

или

и

Суммирование, представленное знаком , распространяется на все члены, каковы бы ни были целые значения Суммирование, представленное знаком распространяется только на такие члены, что

Следовательно, под S мы имеем

Это нам позволяет записать

Если один или два индекса и к равны единице, то определяется соотношением

Мы будем с помощью этого последнего соотношения преобразовывать уравнение (11) так, чтобы выявить существование двух нулевых корней и свести уравнение к уравнению четвертой степени.

Действительно, простым преобразованием определителя и делением на я нахожу

В частном случае, когда степеней свободы всего две, это уравнение записывается в виде

или

Выражение зависит лишь от или, если угодно, от Когда будут даны два соизмеримых числа мы сможем рассматривать как известную постоянную. Тогда знак зависит только от знака

Когда заданы образуем уравнение

Мы видели в п. 42, что каждому корню этого уравнения соответствует периодическое решение.

Рассмотрим общий случай, когда уравнение (12) имеет только два простых корня; каждый из этих корней соответствует тогда максимуму или минимуму Но функция будучи периодической, в каждом периоде имеет по меньшей мере один максимум и один минимум и ровно столько максимумов, сколько минимумов.

Для значений соответствующих минимуму, положительна; для значений, соответствующих максимуму, эта производная отрицательна. Следовательно, уравнение (12) будет иметь ровно столько корней, для которых эта производная положительна, сколько корней, для которых эта производная отрицательна, и, следовательно, столько корней, для которых положительно, сколько корней, для которых отрицательно.

Это равносильно тому, что будет ровно столько периодических устойчивых решений, сколько неустойчивых, если этим словам придавать тот же смысл, что и в п. 59.

Таким образом, каждой системе значений соответствуют по меньшей мере одно устойчивое и одно неустойчивое периодические решения, причем устойчивых решений ровно столько, сколько неустойчивых, если только достаточно мало.

Я не буду рассматривать здесь, как обобщаются эти результаты на тот случай, когда уравнение (12) будет иметь кратные корпи.

Вот как следует продолжать вычисления.

Пр дположим, что мы полностью определили величины

и функции

и что функции известны с точностью до постоянной. Предположим, что надо вычислить закончить определение функций и и определить функции с точностью до постоянной.

Приравнивая одинаковые степени в уравнениях (4), получаем уравнения следующего вида, аналогичные уравнениям (7) и (8):

Обе части уравнений (13) являются периодическими функциями Приравняем средние значения обеих частей. Если обозначим через среднее значение некоторой периодической функции если заметим, что для периодической функции

и если вспомним, что так как известна с точностью до постоянной, известные величины, то получим следующие уравнения:

Уравнения (14) помогут нам вычислить и, следовательно, закончить определение функций известных пока лишь с точностью до постоянной.

Если просуммировать уравнения (14), предварительно умножив их соответственно на

то найдем

что определяет

Если в уравнениях (14) заменить на найденное таким образом значение, то для определения шести неизвестных будем иметь шесть линейных уравнений, из которых лишь пять независимы.

Теперь можно определить из условия, что равно нулю при в соответствии со сделанным выше предположением, и пять уравнений (14), остающихся независимыми, позволят вычислить пять остальных неизвестных величин.

Уравнения (13) позволят нам затем вычислить и, следовательно, определить функции с точностью до постоянной и т. д.