Уравнение, определяющее характеристические показатели

60. Вернемся к уравнениям (1) предыдущего пункта; рассмотрим какое-нибудь решение

Пусть Т — период порождающего периодического решения пусть значение при значение при .

Поскольку обращаются в нуль вместе с и разложимы в ряд по возрастающим степеням мы можем написать по формуле Тейлора

Если рассмотренное решение достаточно мало отличается от периодического и можно пренебречь къадр , то можно будет также пренебречь квадратами и останется

Рассмотрим одно из частных решений уравнений в вариациях (2); при мы имеем

а при

Мы видели в п. 59, что среди этих частных решений имеют замечательный вид: это решения (3); пусть

— одно из этих решений (3), или, опуская индекс к для сокращения записи,

Функции периодические функции с периодом следовательно» при

и при

или при замене его значением

Исключая из этих уравнений, получаем

откуда следует правило: чтобы получить характеристические показатели а, составляем функциональный определитель по образуем соответствующее уравнение относительно корни этого уравнения равные .

Само собой разумеется, что в частных производных надо после дифференцирования положить все равными .