Глава III. ПЕРИОДИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ

36. Пусть

— система дифференциальных уравнений, где X — данные однозначные функции переменных

Пусть теперь

— частное решение этой системы. Представим себе, что в момент переменных х, принимают свои начальные значения, так что

Ясно, что в этот момент Т мы будем находиться в тех же условиях, что и в момент 0 и, следовательно, для любого

Другими словами, функции будут периодическими функциями

Тогда говорят, что решение (2) является периодическим решением уравнений (1).

Предположим теперь, что функции зависят не только от но и от времени Более того, я предполагаю, что периодические функции и период равен Т. Тогда, если функции таковы, что

то из этого по-прежнему можно заключить, что

и решение (2) по-прежнему будет периодическим.

Вот другой, немного более сложный случай. Предположим снова, что функции зависят только от х, но являются периодическими функциями

первых переменных х, а именно, так что не изменяются, когда заменяют на или же на или же на

Представим себе теперь, что

где целые числа.

В момент Т первые переменных х возрастут на некоторое кратное оставшихся переменных не изменятся; следовательно, не изменятся, и мы будем находиться в тех же условиях, что и в момент 0. Следовательно, будем иметь

Мы условимся по-прежнему говорить, что решение (2) — периодическое решение.

Наконец, может случиться, что при подходящей замене переменных появятся периодические решения, которых не было при старых переменных.

Вернемся, например, к уравнениям (2) из п. 2

Напомним, что речь идет о движении точки, отнесенном к двум подвижным осям и под действием силы, составляющие которой по этим осям

Во многих приложениях V зависит лишь от и уравнения допускают такие частные решения, что являются периодическими функциями причем период равен Т.

Если бы точку отнесли к неподвижным осям имели бы место равенства

и x и у не были бы периодическими функциями если только Т не соизмеримо с

Таким образом, при переходе от неподвижных осей к подвижным появляется периодическое решение.

Задача, о которой здесь будет идти речь, следующая.

Предположим, что в уравнениях (1) функции зависят от некоторого параметра и что в случае удалось проинтегрировать уравнения и установить таким образом существование некоторого числа периодических решений. При каких условиях мы будем иметь право заключить, что уравнения имеют периодические решения и для малых значений

Возьмем, например, задачу трех тел. Выше мы условились обозначать через массы двух самых малых тел, причем очень мало, а и конечны. При задача разрешима, причем каждое из двух малых тел описывает вокруг третьего кеплеров эллипс; легко видеть тогда, что существует бесконечное число периодических решений. Далее мы увидим, что можно заключить отсюда, что задача трех тел имеет бесконечное число периодических решений, если достаточно мало.

На первый взгляд кажется, что этот факт не может представлять никакого интереса для практики. В самом деле, лишь с нулевой вероятностью начальные условия движения будут в точности соответствовать начальным условиям периодического решения. Но может случиться, что они отличаются от этих условий лишь оченьмало, и это имеетместо как раз в случаях, когда старые методы неприменимы. Тогда можно с успехом брать периодическое решение за первое приближение, за промежуточную орбиту по терминологии Гильдена.

Более того, вот факт, который я не смог строго доказать, но который тем не менее кажется очень правдоподобным.

Если даны уравнения вида, указанного в , и некоторое частное решение этих уравнений, то можно всегда найти такое периодическое решение (период которого, правда, может быть очень большим), что разность между обоими решениями будет сколь угодно мала на протяжении любого сколь угодно большого промежутка времени. Кроме того, особая ценность этих периодических решений заключается в том, что они являются единственной брешью, через которую мы могли бы попытаться проникнуть в область, считавшуюся недоступной [1а].

37. Вернемся к уравнениям (1)

и предположим, что X — функции неизвестных времени и произвольного параметра Предположим, кроме того, что эти функции периодические по с периодом

Представим себе, что при уравнения имеют периодическое решение с периодом

так что

Выясним, будут ли уравнения (1) допускать периодическое решение с периодом если не равно нулю, но очень мало.

Рассмотрим сначала любое решение.

Пусть значение при значение при По теореме будут голоморфными функциями и эти функции обратятся в нуль при

Чтобы решение было периодическим, должны выполняться уравнения

Если функциональный определитель, или якобиан, по не равен нулю при то, как мы знаем из теоремы , можно решить эти уравнений относительно и найти

где разлагаются в ряды по степеням и обращаются в 0 вместе с

Из этого следует, что для достаточно малых значений дифференциальные уравнения допускают периодические решения. Все это верно, если якобиан не равен нулю или, другими словами, если при уравнения (1) допускают простое решение

Что произойдет, если решение кратное?

Предположим, что оно кратное порядка Пусть число решений системы (1) при малых положительных значениях число решений той же системы при малых отрицательных значениях речь идет о таких решениях, что стремятся к 0 вместе с

В силу того, что мы видели в п. 32 и 33, все три числа одной и той же четности. Следовательно, если нечетно, то при малых значениях как положительных, так и отрицательных заведомо существуют периодические решения.

Если не равно разность может быть лишь четным числом; следовательно, может случиться, что когда непрерывно увеличивают, некоторое число решений исчезает в момент, когда меняет знак (или в более общем случаев момент, когда проходит через некоторое значение так как значение ничем не отличается от других значений но число исчезающих решений всегда должно быть четным.

Итак, периодическое решение может исчезнуть лишь слившись с другим периодическим решением [13].

Другими словами, периодические решения исчезают парами подобно действительным корням алгебраических уравнений.

В силу п. 33 можно исключить из уравнений (1) и — 1 переменных и получить единственное уравнение

левая часть которого голоморфна по и обращается в нуль вместе с этими переменными.

Если рассматривать теперь и как координаты точки на плоскости, то это уравнение будет представлять кривую, проходящую через начало координат; каждой из точек этой кривой соответствует периодическое решение.

Таким образом можно составить представление обо всех возможных случаях, изучая форму этой кривой в окрестности начала координат.

Интересен частный случай, когда при дифференциальные уравнения допускают бесконечное число периодических решений.

Пусть

— система периодических решений, содержащих произвольную постоянную Какова бы ни была эта постоянная, функции периодические с периодом по и удовлетворяют дифференциальным уравнениям, когда их подставляют вместо х, полагая

В этом случае при уравнения (1) не будут независимыми и уравнение (2) должно сводиться к тождеству.

Тогда функция Ф должна содержать в качестве множителя и сводиться к так что кривая (2) распадается на прямую другую кривую

Каждой точке этой кривой соответствует периодическое решение, так что изучение этой кривой позволит разобраться в различных случаях, которые могут представиться.

Но эта кривая не всегда проходит через начало координат. Следовательно, мы должны прежде всего распорядиться произвольной постоянной так, чтобы эта кривая проходила через начало координат.

Вот еще один частный случай, который кажется мне достойным интереса. Предположим, что откуда-нибудь известно, что кривая имеет ветвь В, проходящую через начало координат. Каждой точке этой ветви будет соответствовать периодическое решение. Представим себе, кроме того, что почему-либо известно, что ветвь В не касается прямой наконец, предположим, что функциональный определитель по равен нулю. Отсюда можно заключить, что

и так как ветвь В по предположению не касается прямой то

Это показывает, что кривая в начале координат имеет кратную точку, следовательно, одна или несколько ветвей кривой, отличных от В, проходят через начало координат. За исключением особых случаев, к которым мы вернемся позже, по крайней мере одна из этих ветвей действительна.

Следовательно, кроме периодических решений, соответствующих ветви В, будет существовать другая система периодических решений, и решения обеих систем сольются вместе при Вот обстоятельства, при которых представляется этот случай.

Мы обозначали выше

— значение при и

— значение при

Обозначим также

— значение при где k — целое число.

Я предполагаю, что при функциональный определитель по который я обозначу через А, не обращается в нуль, тогда как функциональный определитель по который я обозначу через А, обращается в нуль.

Из того, что А не обращается в нуль, можно заключить, что существует периодическое решение с периодом которое обращается в

при Если мы построим кривую

соответствующую так определенным периодическим решениям, то эта кривая пройдет через начало координат, а прямая не будет ее касательной, так как А не равен нулю.

Но решение с периодом можно также рассматривать как периодическое решение с периодом

Попытаемся найти периодические решения с периодом Для этого нам надо решить уравнения

Исключая из этих уравнений мы получим единственное уравнение

которое в силу наших соглашений будет представлять кривую, проходящую через начало координат. Среди решений с периодом имеются наши решения с периодом следовательно, кривая будет одной из ветвей кривой будет, следовательно, делиться на Ф) и эта ветвь не касается кривой

Более того, так как равен нулю, то имеет место равенство

Следовательно, начало координат — кратная точка кривой Итак, существуют решения с периодом отличные от решения с периодом и сливающиеся с ним при

Имеется несколько исключительных случаев, к которым мы вернемся в дальнейшем.

Я должен еще остановиться на случае, когда уравнения (1) п. 36 допускают интеграл

левая часть которого (я буду для краткости обозначать ее через является периодической функцией от с периодом

Я утверждаю, что в этом случае уравнения

не будут, вообще говоря, независимыми.

Действительно, тождественно будет выполняться равенство

Рассмотрим теперь уравнение

Левую часть можно разложить в ряд по степеням, более того, она обращается в нуль, когда обращаются в нуль.

Предположим, что при нарушено равенство

Производная по левой части (3) не будет обращаться в нуль при

Следовательно, в силу теоремы п. 30 мы можем получить из уравнения (3)

где — ряд по степеням обращающийся

в нуль, когда одновременно

Итак, из уравнений (1) является следствием первых.

Если бы мы имели

при , то первое из уравнений (1) было бы следствием последних.

Во всех этих случаях уравнения (1) не независимы.

Исключением является лишь тот случай, когда одновременно

при

Итак, исключим одно из уравнений (1), например,

(если и разрешим относительно систему

к которой прибавим уравнение, выбранное произвольно, например, произвольная постоянная, или (С — заданная постоянная). Итак, при каждом значении имеется бесконечное число периодических решений с периодом если же зафиксировать постоянную С (которой равна то в общем случае имеется только одно периодическое решение.

Если бы вместо одного однозначного интеграла мы имели два

то два последних уравнения (1) были бы следствиями первых, если только якобиан

не был бы равен нулю при

Тогда можно было бы отбросить эти два последних уравнения

и заменить их двумя другими, выбранными произвольно.