Исследование

97. Остается разрешить следующий вопрос.

У меня всего четырнадцать особых точек, семь из которых соответствуют очень малым значениям х и у, а семь — очень большим.

С другой стороны, семь из этих точек соответствуют очень малым значениям а семь — очень большим. Требуется определить, для какой из семи первых точек модуль z самый большой (это нам в то же время позволит узнать, какой из семи других точек соответствует самый малый модуль z, поскольку значения z попарно обратны, так же как значения

Если соответствующие особые точки допустимы, то именно они определяют окружности

Чтобы не удлинять исследование изучением слишком большого числа различных частных случаев, я сделаю несколько частных предположений. Я предположу, что

Предположу также, что отношение близко к отношению средних движений с противоположным знаком, т. е. что приближенно выполняется равенство

где средние движения. Действительно, наиболее интересны те члены, которые соответствуют малым делителям.

Таким образом, приближенно имеем

это показывает, что с и а имеют противоположные знаки. Я предположу, например, что с положительно, а а отрицательно; поскольку больше а будет положительно.

Благодаря этим предположениям, все значения х вещественны.

Это позволит нам дать простую геометрическую картину, которая облегчит исследование. Мы представляем каждую особую точку точкой плоскости с прямоугольными координатами х и у.

Я сделал два рисунка (рис. 2 и 3); первый представляет квадрант плоскости, заключенный между положительной частью оси х и положительной частью оси у, а второй — квадрант, заключенный между отрицатель ними частями оси х и оси у.

Рис. 2

Рис. 3

Прямые имеют соответственно уравнения

Две ветви кривой и имеют уравнение

т. е. уравнение (3) предыдущего пункта; две ветви кривой

имеют уравнение (4) предыдущего пункта

Различные особые точки представлены на рисунках следующими точками:

и точками соответственно обратными предыдущим.

Легко проверить, что если достаточно мало, то действительно точки расположены в порядке, указанном на рисунках, т. е. их абсциссы возрастают при обходе точек в порядке

Сравним значения z, соответствующие этим различным точкам. Прежде всего видно, что для точек рис. 2 (где вещественно и положительно и что для точек рис. 3 (где ) аргумент z равен , а аргумент равен . Остается посмотреть, как изменяется модуль z. Если идти вдоль кривой (3) или (4), то максимумы и минимумы соответствуют точкам касания кривых (3) и (4) с кривыми

т. е. точкам С, D, F, A для кривой (3) и точкам для кривой (4). Вот картина изменения

1. Когда мы следуем вдоль кривой (3)

2. Когда мы следуем вдоль кривой (4)

Отсюда заключаем, что в точке В больше, чем в точке С, а в точке Е больше, чем в точке

Точно так же значение в точке меньше, чем в точке 5, а 2 в точке меньше, чем в точке

Мы видели, что поскольку функция неоднозначна, то контуры интегрирования надо проводить на соответствующей римановой поверхности с бесконечным числом листов. Чтобы избежать рассмотрения этой римановой поверхности, можно сделать замену переменных. Заметим, в самом деле, что квадрат — однозначная функция х и у и что, следовательно, квадрат однозначная функция и

Итак, если мы условимся придать определенное значение которое мы рассматриваем временно как постоянное, то одной точке плоскости будут соответствовать только два противоположных значения . Мы сможем тогда провести наши контуры интегрирования на плоскости

Дадим сперва начальное значение модуль которого равен 1.

Определяя , мы условились, что контур интегрирования, вдоль которого берется интеграл

должен сводиться к окружности для значений с модулем 1.

Для мы должны, следовательно, за контур интегрирования принять в плоскости окружность и в плоскости окружность

Итак, вот правило, позволяющее узнать, допустима ли особая точка функции . Пусть значение значение соответствующие этой особой точке. Предположим, например, что модуль меньше 1; как мы знаем, половина особых точек имеет модуль меньше 1. Мы будем изменять следующим образом: его аргумент должен оставаться постоянным и равным аргументу а его модуль будет возрастать от до 1. Другими словами, точка опишет отрезок прямой ограниченный точками

Для каждого из значений функция , рассматриваемая как функция от имеет некоторое число особых точек; при две из этих особых точек сливаются в одну точку Когда пробегает

прямую эти две особые точки изменяются непрерывным и вполне определенным образом. Когда достигает конечного значения то конечные положения этих двух особых точек могут оказаться либо оба внутри, либо оба вне окружности и тогда рассматриваемая точка недопустима; либо же конечное положение одной точки — внутри, а другой — вне этой окружности, и тогда рассматриваемая точка допустима.

Функция умножается на корень степени из единицы, когда умножается на корень степени из единицы.

Предположим теперь, что для данного значения точка

— особая точка функции , рассматриваемой как функция от Тогда особыми будут также точки

Мы видели, что значения х, соответствующие особым точкам , все вещественны и, следовательно, их аргумент равен 0 или я. Соответствующие значения будут поэтому иметь аргумент где к — целое число. Итак, если а — одно из значений, то я могу написать

где аргумент равен 0 или а к — целое число.

Если а соответствует особой точке функции , т. е. двум слившимся особым точкам функции , то это же верно и для

Я утверждаю, что для того, чтобы точка была допустимой, необходимо и достаточно, чтобы точка была допустимой.

Действительно, применим правило: когда точка будет пробегать прямую А, две особые точки, первоначально слившиеся в будут иметь конечные положения в у и у; точно так же две особые точки, первоначально слившиеся в будут иметь конечные положения

Очевидно, для доказательства сформулированной теоремы достаточно заметить, что

Итак, достаточно будет исследовать особые точки, соответствующие вещественным положительным значениям т. е. точкам

сунка, и особые точки, соответствующие значению аргумента , т. е. точкам рисунка.

Точка Е недопустима; действительно, соответствующее значение а равно

когда точка будет пробегать прямую А, две особые точки, первоначально слившиеся в а, останутся вещественными. Каждой из них будет соответствовать одно значение х и одно значение у и, следовательно, одна изображающая точка на нашем рисунке.

Одна из этих изображающих точек будет пробегать тогда прямую а другая — кривую

Итак, одна из особых точек останется неподвижной и равной и будет, следовательно, всегда иметь модуль меньше 1.

Начальное значение ?; величины вещественно и положительно; следовательно, прямая А будет частью вещественной оси, а конечное значение будет равно 1.

Другая особая точка (соответствующая изображающей точке, которая пробегает кривую имеет положительное вещественное значение, которое я обозначу требуется определить, будет ли Т больше или меньше 1.

Когда эта изображающая точка описывает кривую от Е до модуль z возрастает от некоторого очень малого значения до бесконечности; следовательно, он пройдет в точности один раз через значение единица. Требуется показать, что соответствующее значение величины х меньше 1. Для этого достаточно показать, что когда абсцисса х этой изображающей точки достигает значения 1, то будет больше 1.

Но мы находим, что при

Следовательно, остается доказать, что .

Но очевидно, что

Таким образом, . Итак, точка Е недопустима, что и требовалось доказать.

Точка недопустима, в этом случае прямая А также будет частью вещественной оси, поскольку будет вещественна. Особые точки, первоначально слившиеся в не останутся вещественными, но они останутся комплексно-сопряженными, следовательно, они имеют один и тот же модуль, таким образом, невозможно, чтобы, когда достигнет конечного

значения одна из этих точек была больше 1, а другая — меньше 1 по абсолютной величине, что и требовалось доказать.

Однако нам полезно знать, будет ли общий модуль этих двух особых точек больше или меньше 1, когда достигнет конечного значения 1. Поскольку он первоначально был меньше 1, то он может перестать быть меньше 1, лишь пройдя через значение 1. Следовательно, необходимо, чтобы для комплексного значения х с модулем 1 величина имела вещественное положительное значение.

Итак, проведем в плоскости х линии равного аргумента функции

Эти линии представлены на рис. 4, по крайней мере в той части плоскости, которая только нас и интересует — в окрестности точки О.

Замечательными точками являются точка соответствующая точке О рис. 2, точках соответствующая точке А, и две точки, соответствующие точкам . Эти точки, впрочем, обозначены на рис. 4 теми же буквами.

Рис. 4

Некоторые линии равного аргумента, а именно те, которые рассматриваются как замечательные, обозначены сплошной чертой. Это, с одной стороны, вещественная ось и, с другой стороны, линии, идущие из точки О к точке и из точки А к точке Другие линии равного аргумента, которые оканчиваются либо в точке О, либо в точке А, либо в обеих, обозначены пунктиром.

Когда точка будет пробегать прямую А, точка х будет описывать кривую, обозначаемую сплошной линией нашего рис. 4.

(страница отсутствует)

Вторая изображающая точка описывает я утверждаю, что конечное значение больше 1. Для этого надо показать, что при но при

Из наших трех конечных абсолютных величин две меньше 1, а одна больше 1.

Следовательно, точка допустима, что и требовалось доказать. Таким образом, из шести точек только точка допустима.

Точно так же из шести обратных точек лишь точка допустима.

Итак, если один из эксцентриситетов достаточно мал, а другой равен нулю, наклонение орбит равно нулю, большая ось круговой орбиты больше, чем большая ось эллиптической орбиты; если отношение мало отличается от отношения средних движений, то точки определяют радиусы сходимости

Чтобы облегчить понимание этого исследования, я сделал пятый чертеж, где изобразил изменение особых точек, взяв за абсциссу ось х, если х вещественно, и если х комплексно, а за ординату . Я изобразил, однако, лишь те особые точки, которые играют роль в нашем исследовании. Прямые, проведенные штрих-пунктирной линией, — оси координат прямые

Рис. 5

Кривые, проведенные сплошной линией, изображают изменение вещественных особых точек, а кривые, проведенные пунктиром, — изменение комплексных особых точек. В соответствии со сделанными выше допущениями, каждая из точек этих пунктирных кривых изображает две комплексно-сопряженные особые точки.

Различные замечательные точки обозначены теми же буквами, что и соответствующие точки на предыдущих чертежах. Чтобы найти различные конечные значения, к которым приходим, двигаясь из той или иной

особой точки, надо следовать вдоль сплошных или пунктирных кривых, двигаясь всегда вниз (поскольку на чертеже положительная ось направлена вниз) до прямой Таким образом, находим:

Я напомню, что изображает два комплексно-сопряженных конечных значения. Мы видим, что все найденные конечные значения, кроме меньше 1 по абсолютной величине.