Главная > А.Пуанкаре Избранные труды в трех томах. Т.1
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
440
441
442
443
444
445
446
447
448
449
450
451
452
453
454
455
456
457
458
459
460
461
462
463
464
465
466
467
468
469
470
471
472
473
474
475
476
477
478
479
480
481
482
483
484
485
486
487
488
489
490
491
492
493
494
495
496
497
498
499
500
501
502
503
504
505
506
507
508
509
510
511
512
513
514
515
516
517
518
519
520
521
522
523
524
525
526
527
528
529
530
531
532
533
534
535
536
537
538
539
540
541
542
543
544
545
546
547
548
549
550
551
552
553
554
555
556
557
558
559
560
561
562
563
564
565
566
567
568
569
570
571
572
573
574
575
576
577
578
579
580
581
582
583
584
585
586
587
588
589
590
591
592
593
594
595
596
597
598
599
600
601
602
603
604
605
606
607
608
609
610
611
612
613
614
615
616
617
618
619
620
621
622
623
624
625
626
627
628
629
630
631
632
633
634
635
636
637
638
639
640
641
642
643
644
645
646
647
648
649
650
651
652
653
654
655
656
657
658
659
660
661
662
663
664
665
666
667
668
669
670
671
672
673
674
675
676
677
678
679
680
681
682
683
684
685
686
687
688
689
690
691
692
693
694
695
696
697
698
699
700
701
702
703
704
705
706
707
708
709
710
711
712
713
714
715
716
717
718
719
720
721
722
723
724
725
726
727
728
729
730
731
732
733
734
735
736
737
738
739
740
741
742
743
744
745
746
747
748
749
750
751
752
753
754
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

Новая замена переменных

131. Если ввести переменные (4) п. 12, то функцию можно будет разлагать по степеням Как мы уже видели, членов нечетной степени относительно

не будет [36].

В силу этого мы можем записать

где представляет собой совокупность членов степени относительно величин (2). Нам необходимо проинтегрировать канонические уравнения

Однако для того чтобы привести наши уравнения к наиболее удобному виду, нам потребуется еще одна замена переменных.

Предположим прежде всего, что мы пренебрегли всеми членами порядка выше второго относительно величин (2), т. е. что

есть константа, представляет собой однородный полином второй степени относительно переменных (2). Следовательно, если записать канонические уравнения

то эти уравнения будут линейными относительно переменных (2).

Предположим, что вместо разложения по степеням переменных (2), мы разложим эту функцию по степеням эксцентриситетов и наклонений. Пусть

— полученное разложение, где означает совокупность членов степени к относительно эксцентриситетов и наклонений.

Из результатов в следует, что переменные (2) допускают разложение по степеням эксцентриситетов и наклонений, так что если каждое

из этих разложений оборвать на его первом члене, то получим

(так же, как и в п. 12, я для краткости обозначаю

Отсюда следует, что

и что для получения достаточно заменить переменные (2) в их приближенными значениями (4).

Наоборот, функции мы получим, заменив в переменные

на

Но разложение функции хорошо известно. В самом деле, представляет собой не что иное, как совокупность вековых членов возмущающей функции, имеющей вторую степень относительно эксцентриситетов и наклонений.

Я могу сделать два вывода: во-первых, что линейные уравнения (3) можно с помощью очень простой замены переменных свести к уравнениям и «Небесной механики» Лапласа (кн. II, гл. VII, т. I, § 55 и 59, стр. 321 и 334, Gauthier-Villars, 1878 г.), которые служат для вычисления вековых возмущений эксцентриситетов и перигелиев, наклонений и узлов; во-вторых, что функция имеет особый вид и может быть записана следующим образом:

Иначе говоря, она является суммой четырех квадратичных форм: первой, зависящей только от и второй, зависящей от точно таким же образом, как первая форма от и третьей, зависящей только от четвертой, зависящей от так же, как третья форма зависит от

Установив это, произведем линейную замену переменных, подобрав ее так, чтобы не изменить канонической формы наших уравнений.

Для этого положим

где два угла, зависящие от .

Положим затем

Таким образом, я получаю соотношения, определяющие новые переменные как функции старых переменных.

Я введу еще четыре новых переменных определяемых соотношениями

откуда

По теореме п. 4 каноническая форма уравнений не изменится, если за менить старые переменные

новыми переменными

Осталось показать, как следует выбирать углы фифв виде функций от .

Угол выбирают так, чтобы квадратичная форма

свелась к сумме двух квадратов

При этом получают

Аналогично угол выбирают так, чтобы

В результате мы получаем

Заметим, что зависят от .

Соотношение между переменными которое можно записать в виде

представляет собой линейную ортогональную подстановку; как мы объяснили в , именно благодаря этому обстоятельству не изменяется каноническая форма уравнений. Следовательно, рассматриваемая задача сводится к отысканию углов т. е. к выбору ортогональной подстановки (5). Но отыскание этой подстановки в свою очередь сводится к интегрированию упоминавшихся выше уравнений и Лапласа. Численные вычисления могут быть в силу этого весьма продолжительными, но те вычисления, которые относятся к солнечной системе, уже выполнены.

Аналогичные результаты получаются и в том случае, когда вместо трех тел рассматривают тело.

Функция была бы по-прежнему суммой четырех квадратичных форм, но каждая из этих четырех форм вместо того, чтобы зависеть лишь от двух переменных, содержала бы переменных.

Следовательно, мы бы получили переменных, аналогичных переменным переменных, аналогичных переменных, аналогичных переменных, аналогичных Задача сводилась бы так же, как и раньше, к отысканию линейной ортогопальной подстановки, которая, будучи примененной к переменным , преобразовывала первую из этих четырех квадратичных форм к сумме квадратов.

Возвратимся, однако, к задаче трех тел.

Произведем последнюю замену переменных, положив

Согласно такая подстановка не изменяет канонической формы уравнений.

В результате окажется, что разлагается по степеням и периодична по Кроме того,

т. е. не зависит от

Аналогично угол выбирают так, чтобы

В результате мы получаем

Заметим, что зависят от .

Соотношение между переменными которое можно записать в виде

представляет собой линейную ортогональную подстановку; как мы объяснили в п. 5, именно благодаря этому обстоятельству не изменяется каноническая форма уравнений. Следовательно, рассматриваемая задача сводится к отысканию углов т. е. к выбору ортогональной подстановки (5). Но отыскание этой подстановки в свою очередь сводится к интегрированию упоминавшихся выше уравнений и Лапласа. Численные вычисления могут быть в силу этого весьма продолжительными, но те вычисления, которые относятся к солнечной системе, уже выполнены.

Аналогичные результаты получаются и в том случае, когда вместо трех тел рассматривают тело.

Функция была бы по-прежнему суммой четырех квадратичных форм, но каждая из этих четырех форм вместо того, чтобы зависеть лишь от двух переменных, содержала бы переменных.

Следовательно, мы бы получили переменных, аналогичных переменным переменных, аналогичных переменных, аналогичных переменных, аналогичных Задача сводилась бы так же, как и раньше, к отысканию линейной ортогопальной подстановки, которая, будучи примененной к переменным , преобразовывала первую из этих четырех квадратичных форм к сумме квадратов.

Возвратимся, однако, к задаче трех тел.

Произведем последнюю замену переменных, положив

Согласно п. 6 такая подстановка не изменяет канонической формы уравнений.

В результате окажется, что разлагается по степеням и периодична по Кроме того,

т. е. не зависит от

Эту функцию можно разложить по степеням она периодична относительно переменных второй серии наконец, ее первый член не зависит от этих переменных Следовательно, мы оказываемся в условиях применимости результатов предыдущей главы.

Единственное предположение, которое мы сделаем, будет состоять в том, что между четырьмя константами не существует линейного соотношения с целыми коэффициентами. Вероятность того, что такое соотношение существует, равна пулю, однако можно потребовать, чтобы не существовало и простого соотношения, достаточно близкого к точному соотношению, ибо в противном случае ряды сходились бы лишь чрезвычайно медленно. Известно, что этот вопрос рассматривался Леверрье, однако для случая дальних планет его пришлось оставить нерешенным, поскольку массы этих планет известны плохо, а коэффициенты А зависят от этих масс.

Очевидно, что все сказанное без изменений переносится и на тот случай, когда число тел больше трех.

Итак, уравнениям, определяющим вековые возмущения, можно формально удовлетворить с помощью тригонометрических рядов того же вида, что и ряды Ньюкома и Линдштедта. Тогда выражаются в виде рядов, члены которых периодичны по Лаплас и Лагранж считали, что этот результат полностью доказывает устойчивость солнечной системы. На сегодняшний день мы отпосимся к этому результату гораздо критичнее, поскольку сходимость соответствующих разложений не доказана. Тем не менее этот результат остается очень важным.

В заключение заметим, что в том случае, когда имеется только три тела и они движутся в одной плоскости, канонические уравнения (2) вырождаются в уравнения, имеющие только одну степень свободы. В этом случае их можно проинтегрировать в квадратурах.

Излишне напоминать, что интегрирование уравнений (2) эквивалентно интегрированию уравнения с частными производными

где Т — неизвестная функция, со — независимые переменные, а левая часть представляет собой функцию в которой переменные заменены производными [36].

1
Оглавление
email@scask.ru