Новая замена переменных

131. Если ввести переменные (4) п. 12, то функцию можно будет разлагать по степеням Как мы уже видели, членов нечетной степени относительно

не будет [36].

В силу этого мы можем записать

где представляет собой совокупность членов степени относительно величин (2). Нам необходимо проинтегрировать канонические уравнения

Однако для того чтобы привести наши уравнения к наиболее удобному виду, нам потребуется еще одна замена переменных.

Предположим прежде всего, что мы пренебрегли всеми членами порядка выше второго относительно величин (2), т. е. что

есть константа, представляет собой однородный полином второй степени относительно переменных (2). Следовательно, если записать канонические уравнения

то эти уравнения будут линейными относительно переменных (2).

Предположим, что вместо разложения по степеням переменных (2), мы разложим эту функцию по степеням эксцентриситетов и наклонений. Пусть

— полученное разложение, где означает совокупность членов степени к относительно эксцентриситетов и наклонений.

Из результатов в следует, что переменные (2) допускают разложение по степеням эксцентриситетов и наклонений, так что если каждое

из этих разложений оборвать на его первом члене, то получим

(так же, как и в п. 12, я для краткости обозначаю

Отсюда следует, что

и что для получения достаточно заменить переменные (2) в их приближенными значениями (4).

Наоборот, функции мы получим, заменив в переменные

на

Но разложение функции хорошо известно. В самом деле, представляет собой не что иное, как совокупность вековых членов возмущающей функции, имеющей вторую степень относительно эксцентриситетов и наклонений.

Я могу сделать два вывода: во-первых, что линейные уравнения (3) можно с помощью очень простой замены переменных свести к уравнениям и «Небесной механики» Лапласа (кн. II, гл. VII, т. I, § 55 и 59, стр. 321 и 334, Gauthier-Villars, 1878 г.), которые служат для вычисления вековых возмущений эксцентриситетов и перигелиев, наклонений и узлов; во-вторых, что функция имеет особый вид и может быть записана следующим образом:

Иначе говоря, она является суммой четырех квадратичных форм: первой, зависящей только от и второй, зависящей от точно таким же образом, как первая форма от и третьей, зависящей только от четвертой, зависящей от так же, как третья форма зависит от

Установив это, произведем линейную замену переменных, подобрав ее так, чтобы не изменить канонической формы наших уравнений.

Для этого положим

где два угла, зависящие от .

Положим затем

Таким образом, я получаю соотношения, определяющие новые переменные как функции старых переменных.

Я введу еще четыре новых переменных определяемых соотношениями

откуда

По теореме п. 4 каноническая форма уравнений не изменится, если за менить старые переменные

новыми переменными

Осталось показать, как следует выбирать углы фифв виде функций от .

Угол выбирают так, чтобы квадратичная форма

свелась к сумме двух квадратов

При этом получают

Аналогично угол выбирают так, чтобы

В результате мы получаем

Заметим, что зависят от .

Соотношение между переменными которое можно записать в виде

представляет собой линейную ортогональную подстановку; как мы объяснили в , именно благодаря этому обстоятельству не изменяется каноническая форма уравнений. Следовательно, рассматриваемая задача сводится к отысканию углов т. е. к выбору ортогональной подстановки (5). Но отыскание этой подстановки в свою очередь сводится к интегрированию упоминавшихся выше уравнений и Лапласа. Численные вычисления могут быть в силу этого весьма продолжительными, но те вычисления, которые относятся к солнечной системе, уже выполнены.

Аналогичные результаты получаются и в том случае, когда вместо трех тел рассматривают тело.

Функция была бы по-прежнему суммой четырех квадратичных форм, но каждая из этих четырех форм вместо того, чтобы зависеть лишь от двух переменных, содержала бы переменных.

Следовательно, мы бы получили переменных, аналогичных переменным переменных, аналогичных переменных, аналогичных переменных, аналогичных Задача сводилась бы так же, как и раньше, к отысканию линейной ортогопальной подстановки, которая, будучи примененной к переменным , преобразовывала первую из этих четырех квадратичных форм к сумме квадратов.

Возвратимся, однако, к задаче трех тел.

Произведем последнюю замену переменных, положив

Согласно такая подстановка не изменяет канонической формы уравнений.

В результате окажется, что разлагается по степеням и периодична по Кроме того,

т. е. не зависит от

Аналогично угол выбирают так, чтобы

В результате мы получаем

Заметим, что зависят от .

Соотношение между переменными которое можно записать в виде

представляет собой линейную ортогональную подстановку; как мы объяснили в п. 5, именно благодаря этому обстоятельству не изменяется каноническая форма уравнений. Следовательно, рассматриваемая задача сводится к отысканию углов т. е. к выбору ортогональной подстановки (5). Но отыскание этой подстановки в свою очередь сводится к интегрированию упоминавшихся выше уравнений и Лапласа. Численные вычисления могут быть в силу этого весьма продолжительными, но те вычисления, которые относятся к солнечной системе, уже выполнены.

Аналогичные результаты получаются и в том случае, когда вместо трех тел рассматривают тело.

Функция была бы по-прежнему суммой четырех квадратичных форм, но каждая из этих четырех форм вместо того, чтобы зависеть лишь от двух переменных, содержала бы переменных.

Следовательно, мы бы получили переменных, аналогичных переменным переменных, аналогичных переменных, аналогичных переменных, аналогичных Задача сводилась бы так же, как и раньше, к отысканию линейной ортогопальной подстановки, которая, будучи примененной к переменным , преобразовывала первую из этих четырех квадратичных форм к сумме квадратов.

Возвратимся, однако, к задаче трех тел.

Произведем последнюю замену переменных, положив

Согласно п. 6 такая подстановка не изменяет канонической формы уравнений.

В результате окажется, что разлагается по степеням и периодична по Кроме того,

т. е. не зависит от

Эту функцию можно разложить по степеням она периодична относительно переменных второй серии наконец, ее первый член не зависит от этих переменных Следовательно, мы оказываемся в условиях применимости результатов предыдущей главы.

Единственное предположение, которое мы сделаем, будет состоять в том, что между четырьмя константами не существует линейного соотношения с целыми коэффициентами. Вероятность того, что такое соотношение существует, равна пулю, однако можно потребовать, чтобы не существовало и простого соотношения, достаточно близкого к точному соотношению, ибо в противном случае ряды сходились бы лишь чрезвычайно медленно. Известно, что этот вопрос рассматривался Леверрье, однако для случая дальних планет его пришлось оставить нерешенным, поскольку массы этих планет известны плохо, а коэффициенты А зависят от этих масс.

Очевидно, что все сказанное без изменений переносится и на тот случай, когда число тел больше трех.

Итак, уравнениям, определяющим вековые возмущения, можно формально удовлетворить с помощью тригонометрических рядов того же вида, что и ряды Ньюкома и Линдштедта. Тогда выражаются в виде рядов, члены которых периодичны по Лаплас и Лагранж считали, что этот результат полностью доказывает устойчивость солнечной системы. На сегодняшний день мы отпосимся к этому результату гораздо критичнее, поскольку сходимость соответствующих разложений не доказана. Тем не менее этот результат остается очень важным.

В заключение заметим, что в том случае, когда имеется только три тела и они движутся в одной плоскости, канонические уравнения (2) вырождаются в уравнения, имеющие только одну степень свободы. В этом случае их можно проинтегрировать в квадратурах.

Излишне напоминать, что интегрирование уравнений (2) эквивалентно интегрированию уравнения с частными производными

где Т — неизвестная функция, со — независимые переменные, а левая часть представляет собой функцию в которой переменные заменены производными [36].