Прямое вычисление рядов

127. Перейдем теперь к непосредственному вычислению рядов

Для этого предположим, например, что в производную которая зависит от вместо этих переменных подставлены их разложения

после чего эта производная стала функцией переменных и (

Эта функция периодична по разлагается по степеням (при и как-то зависит от

Запишем эту производную в виде

где коэффициенты представляют собой функции, зависящие от и периодические по

Аналогичным образом получим

Функции имеют такой же вид, как и функции

Если вспомнить, что производная равна нулю, а производная не зависит от то нетрудно понять, что коэффициенты зависят только от

Коэффициенты зависят от этих же величин и, кроме того, от но не зависят от Коэффициент X- равен нулю, а коэффициент равен

Предположим, что

тогда

Мы предполагаем, что и можно разложить по степеням и записываем

Тогда наши дифференциальные уравнения приобретают вид

В самом деле,

Заменим в уравнениях (12) величины их разложениями (9), (10) и и приравняем затем коэффициенты при одинаковых степенях

Обозначим для краткости

Приравняв коэффициенты при , получим

Приравняв члены, не зависящие от получим

— уравнения, которым, как мы уже видели, можно удовлетворить, положив

После этого уравнения (13) приводятся к виду

Посмотрим, каким образом можно воспользоваться уравнениями (14), чтобы последовательно найти функции

периодические по средние значения которых являются искомыми функциями от

В двух предыдущих пунктах мы видели, что найти такие функции можно.

Предположим, что мы уже вычислили

и что требуется найти с помощью уравнений (14).

Так как зависят лишь от переменных (15), правая часть первого из уравнений (14) представляет собой известную функцию от периодическую по этим переменным.

Пусть

— такая функция. Интегрируя уравнение (14), мы получаем

Отсюда видно, что величины вообще говоря, являются периодическими функциями от Исключение могло бы представиться лишь в двух случаях: если бы величины удовлетворяли какому-то линейному соотношению с целыми коэффициентами

и если бы среднее значение периодической функции было отлично от нуля. В силу сделанного ранее предположения первый случай невозможен. Непосредственное доказательство того, что второй случай также не имеет места, нелегко, но поскольку мы заранее знаем, что величина должна быть периодической функцией от мы уверены, что среднее значение равно нулю. Именно поэтому я и начал изложение метода Линдштедта с общих соображений, содержащихся в пунктах 125 и 126, вместо того, чтобы сразу же перейти к вычислениям.

Что касается константы то, как мы видели в предыдущем пункте, ее можно произвольным образом приравнять какой-нибудь функции от

Нам осталось еще вычислить с помощью второго из уравнений (14). Ясно, что так же, как и величины можно найти в виде периодической функции от при условии, что среднее значение функции

равно нулю. Однако константа остается произвольной и ясно, что ее всегда можно подобрать так, чтобы обратить это среднее значение в нуль.

Таким образом, вычисление различных членов рядов всегда выполнимо.

Полученные формулы содержат достаточно много произвола, которым вычислитель может искусно пользоваться для сокращения выкладок. В самом деле, средние значения можно выбирать произвольно.

Среди тех возможностей, на которых можно остановить свой выбор, я укажу на следующую, отнюдь не желая рекомендовать ее как-то особо. Константы можно выбрать так, чтобы

Этот метод применим всякий раз, когда величины можно выбрать так, чтобы между ними не существовало никаких линейных соотношений с целыми коэффицентами и, следовательно, всякий раз, когда соотношение между этими величинами можно выбирать произвольно.

Именно так обстоит дело, например, в том частном случае задачи трех тел, о котором шла речь в п. 9. В самом деле, в этом случае

откуда

Ясно, что можно выбрать так, чтобы отношение имело необходимое нам значение.

Точно так же обстоит дело и при рассмотрении следующего уравнения, возникающего в приложениях методов Гильдена, которое было подробно изучено Линдштедтом

где функция, допускающая разложение по степеням у и периодическая по х.

Замечу прежде всего, что функцию можно рассматривать как производную по у от некоторой функции того же вида. Поэтому, как мы уже видели в , я могу вместо предыдущего уравнения рассматривать следующие:

Положим затем

Тогда наши уравнения запишутся в виде

В самом деле, из п. 6 следует, что каноническая форма уравнений не изменится.

Положив получим

откуда

Следовательно, если число иррационально, то между не существует никаких линейных соотношений с целыми коэффициентами и метод оказывается применимым.

Точно так же метод будет применим и в общем случае задачи трех тел, если эти тела движутся в одной плоскости и закон притяжения отличен

от ньютоновского. Для ньютоновского закона притяжения рассматриваемый метод теряет силу, если только речь идет не о тех его важных модификациях, которые составят содержание последующих пунктов.

В самом деле, в этом случае (мы придерживаемся обозначений, указанных в п. 125) не будет содержать следовательно, число равно нулю. Это означает, что между существует некое линейное соотношение с целыми коэффициентами, а именно:

Излагаемый здесь прямой метод весьма схож с оригинальным методом Линдштедта. По сравнению с косвенными методами двух предыдущих пунктов он обладает важным преимуществом, поскольку дает нам непосредственно значения как функции от а следовательно, и от времени, и таким образом особенно удобен при вычислении эфемерид. Однако эти косвенные методы необходимы нам, ибо без них я не мог бы доказать законность прямых методов (которые остаются в силе лишь при условии, что среднее значение функции равно нулю) или по крайней мере не мог бы доказать, не используя интегральные инварианты, о которых я буду говорить лишь в одной из следующих глав. Знание этих косвенных методов отнюдь не будет для нас бесполезным и с другой точки зрения. В самом деле, мы видели во введении, что иногда вместо решения можно с успехом использовать какой-нибудь интеграл или (если говорить на языке пунктов 1 и 19) какое-нибудь инвариантное соотношение. Кроме того, нахождение функции S можно использовать для проверки прямых вычислений.

128. Определенную выше константу можно выбрать так, чтобы т. е. среднее значение функции было равно нулю и, следовательно,

В самом деле,

где зависит только от . Приравнивая средние значения, получим

Функции полностью известны. Поэтому известна и функция Следовательно, для того чтобы обратить в нуль

достаточно так подобрать константы чтобы удовлетворялось линейных уравнений

Для этого необходимо и достаточно [34], чтобы гессиан функции не обращался в нуль. Однако в случае уравнения (16), т. е. в том случае, который особенно подробно рассматривал Линдштедт, гессиан оказывается в точности равным нулю. Именно это и объясняет, почему Линдштедт не заметил, что можно положить равным п°.

Этот гессиан равен нулю и в частном случае задачи трех тел, сформулированном в пункте 9, но в п. 43 мы видели, каким образом можно с помощью простого искусственного приема устранить эту трудность.