Приложения периодических решений

49. Как мы уже говорили, маловероятно, чтобы в какой-либо прикладной задаче начальные условия движения в точности соответствовали периодическому решению. Поэтому может показаться, что рассуждения, изложенные в этой главе, практически бесплодны. Но это не так; они уже принесли пользу астрономии, и я не сомневаюсь, что астрономы и в дальнейшем будут часто к ним прибегать.

Я покажу в следующей главе, как можно взять периодическое решение за начало серии последовательных приближений и изучить таким образом решения, которые отличаются от них очень мало. Полезность периодических решений станет тогда очевидной.

Но я хочу сейчас встать на несколько другую точку зрения. Предположим, что в движении некоторого небесного светила имеется очень значительное неравенство. Может случиться, что истинное движение этого светила отличается очень мало от движения идеального светила, орбита которого соответствует периодическому решению.

Тогда довольно часто значительное неравенство, о котором мы только что говорили, будет иметь почти тот же коэффициент для реального светила и для нашего идеального; но этот коэффициент гораздо проще вычисляется для идеального светила, движение которого проще, а орбита периодична.

Первым приложением этого принципа мы обязаны Хиллу. В своей теории Луны он заменяет этот спутник в первом приближении идеальной Луной, орбита которой периодична. Движение этой идеальной Луны описано в п. 41, где мы говорили об этом частном случае периодических решений первого сорта, которыми мы обязаны Хиллу.

Тогда движение этой идеальной Луны, так же как и реальной Луны, подвержено значительному неравенству, хорошо известному под названием вариации; коэффициент почти один и тот же для обеих Лун. Хилл вычислил его значение для своей идеальной Луны с большим числом десятичных знаков. Для того чтобы перейти к реальному случаю, надо исправить полученный таким образом коэффициент, учитывая эксцентриситеты, наклонение и параллакс. Без сомнения, Хилл сделал бы это, если бы закончил публикацию своего замечательного мемуара.

Вот другой случай, который будет часто представляться и к которому я хотел бы привлечь внимание. Выше мы видели, что периодические решения первого сорта перестают существовать, когда отношение средних движений равно

где целое число, т. е. когда равно целому

Но если отношение не являясь целым, очень близко к нему, то периодическое решение существует и имеет очень значительное неравенство.

Если истинные начальные условия движения мало отличаются от тех, которые соответствуют подобному периодическому решению, это значительное неравенство сохранится и его коэффициент будет почти тот же; следовательно, можно с успехом вычислить его значение, рассматривая периодические решения.

Это проделал Тиссеран («Bulletin astronomique», t. III, p. 425) при изучении движения Гиперона (спутника Сатурна). Отношение среднего

движения этого спутника к среднему движению Титана в действительности очень близко к 3/4.

Те же рассуждения применимы к изучению малых планет, среднее движение которых почти вдвое больше среднего движения Юпитера; они были предметом замечательной работы Харцера; они также применимы к планете Гильда, среднее движение которой примерно в 3/2 больше среднего движения Юпитера.

Тиссеран отмечает, кроме того, в работе, которую мы цитируем, случай Урана и Нептуна, отношение средних движений которых близко к Во всех этих случаях существует значительное неравенство и изучение этого неравенства может быть облегчено рассмотрением периодических решений первого сорта.

Напротив, периодические решения второго и третьего сорта не получили еще практических применений; однако все указывает на то, что со временем они найдут свое применение; это произошло бы, если бы подтвердились предвиденья Гаусса по поводу Паллады.