Фундаментальная лемма

115. Установим теперь следующую лемму.

Пусть две функции от которые разлагаются в ряды по степеням х и такие, что для всех рассматриваемых значений

Рассмотрим два следующих уравнения:

и

Рассмотрим частные решения каждого из этих двух уравнений, выбранные так, что при произвольное положительное значени; имеем

Я утверждаю, что при всех значениях больших будет еще выполняться

Заменим переменные, положив

Мы будем иметь, обозначая через частные производные, взятые по переменным

Поэтому наши уравнения примут вид

Если для некоторой системы значений переменных

неравенство (2) удовлетворяется, то

так что неравенство (2) будет еще удовлетворяться при

поскольку

и, следовательно,

Итак, для того чтобы неравенство сохранялось при

достаточно, чтобы оно было справедливо при

Но мы предположили, что оно справедливо при любом и, следовательно, при следовательно, оно сохранится при любом и, следовательно, при что и требовалось доказать.

Можно было бы абсолютно таким же образом доказать немного более общую лемму.

Пусть - функции разлагающиеся в ряды по степеням х и такие, что при всех рассматривае значениях имеют место неравенства

Рассмотрим уравнения

и

Предположим, что для любого при мы имеем

тогда это неравенство справедливо при любом если

Сделаем теперь более частные предположения о функциях Предположим:

1) что эти функции периодические по с периодом

2) что для малых значений они разлагаются в ряды по возрастающим степеням (это может выполняться не для всех рассмотренных значений достаточно, чтобы это было справедливо для малых значений переменной);

3) что эти функции разлагаются в ряды по целым степеням параметра а и делятся на а; кроме того, пусть

4) что, если обозначить через значения функций при всех х, равных нулю, эти величины делятся на

Если все эти предположения выполнены, то в силу теории, изложенной в предыдущих пунктах, существуют частные решения уравнений (3) и (3) следующего вида:

где и функции и а, периодические по (и разлагающиеся в ряды по возрастающим степеням а.

Уравнения (3) [или (3), которые имеют тот же вид] можно привести к виду уравнений (2) из п. 104.

Действительно, рассмотрим снова уравнения (2) из п. 104; они записываются в виде

где разлагаются в ряды по степеням и очень малого параметра и, кроме того, зависят от они обращаются в нуль вместе с

Величины зависят от не только прямо, но и косвенно, через посредство экспонент

Здесь мы предполагаем, что все коэффициенты равны нулю, за исключением одного; таким образом, мы будем рассматривать лишь одну экспоненту Итак, будут зависеть от во-первых, прямо и, во-вторых, через Поэтому, если мы обозначим частные производные через а полные производные через то получим

и наши уравнения примут вид

Единственное формальное отличие уравнений (3) от уравнений (5) заключается в том, что правые части уравнений (3) зависят от и не

обращаются в нуль при

Однако легко избавиться от этого формального отличия. Для этого достаточно присоединить к уравнениям (3) следующее уравнение:

которое допускает решение и заменить на в функциях

Тогда функции не будут больше содержать и будут обращаться в нуль при

Итак, мы можем применить к уравнениям (3) и (3) результаты и прийти к выводу, что эти уравнения допускают решения вида (4).

Вычисление коэффициентов производится очень просто по индукции способом .

Итак, предположим, что мы нашли таким образом

при любом

Отсюда мы заключаем, что

и что, следовательно, можно найти значение переменной достаточно малое для того, чтобы выполнялось

для всех вещественных значений и всех значений меньших и больших нуля.

Тогда мы будем иметь в силу доказанной выше леммы

для всех вещественных значений и всех положительных значений