Решения третьего сорта

48. Попытаемся теперь найти периодические решения третьего сорта, т. е. те, для которых наклонения не равны нулю.

Возьмем переменные п. 16, т. е.

Предположим сначала, что и пусть

— начальные значения этих восьми переменных. Если выбраны так, что

кратны 2 я, то решение будет периодическим при любых значениях шести постоянных

Можно ли выбрать эти шесть постоянных так, чтобы для малых значений уравнения задачи трех тел допускали периодическое решет с периодом Т, такое, чтобы начальные значения восьми переменных были функциями которые сводятся к

при

Мы будем действовать так же как и в предыдущем пункте. Прежде всего предположим, что начальный момент времени был выбран так, что . Затем построим, как и в предыдущем пункте, функции

В силу результатов двух предыдущих пунктов мы должны определить пять постоянных так, чтобы была максимальной или минимальной. Каждому максимуму или минимуму функции будет соответствовать периодическое решение.

Функция рассматриваемая как функция от является периодической функцией с периодом . С другой стороны, подчинены некоторым неравенствам, которые я запишу, как и в п. 18, в виде

Следовательно, две переменные могут изменяться лишь в ограниченной области и функция будет неизбежно иметь максимум и минимум, которые должны соответствовать периодическим решениям.

Однако, как и в предыдущем пункте, может возникнуть трудность. Не может ли случиться, что функция достигнет максимума в момент, когда переменные достигнут пределов, определенных неравенствами (3) Что тогда произойдет?

Предположим сначала, что максимум достигается при

Тогда мы используем переменные из а именно:

Положим, таким образом,

Мы увидим тогда, что достигает своего максимума при

и так как разлагается в ряд по степеням трудность будет преодолена.

Итак, даже если максимум достигается при этому максимуму тем не менее соответствует периодическое решение; то же самое и по той же причине будет и в случае, когда максимум достигается при

Остается рассмотреть случай, когда максимум достигается для значений удовлетворяющих условию

но это именно тот случай, когда наклонения равны нулю. Итак, если максимум достигается при подобных значениях то мы возвращаемся к случаю решения второго сорта, изученному в предыдущемпункте. Поэтому подобному максимуму также соответствует периодическое решение.

Итак, мы показали, что функция всегда имеет по меньшей мере один максимум и один минимум и что каждому из этих максимумов и минимумов соответствует периодическое решение. Однако трудность еще не преодолена.

Решения третьего сорта, которые мы здесь изучаем, включают в себя как частный случай решения второго сорта, существование которых мы доказали ранее.

Можно задать себе вопрос, существуют ли другие решения; более глубокий анализ дает нам ответ на этот вопрос. Мы увидим, что функция имеет максимумы и минимумы, отличные от тех, которые соответствуют нулевым наклонениям, и, следовательно, существуют решения третьего сорта, отличные от решений второго сорта.

Для этой цели изучим более подробно форму функции Нам надо удовлетворить, с одной стороны, соотношениям

а с другой стороны, соотношениям

Я утверждаю, что если положить

то уравнения (4) будут удовлетворены, так что останется только удовлетворить уравнениям (5), т. е. отыскать максимумы и минимумы функции как функции, зависящей только от

Действительно, я замечу, что имеет следующую форму (если предположить, как мы это делали,

где А зависит от

Значит, если предположить, что

то одновременно будут выполняться соотношения

Представим себе, что мы делаем замену переменных, беря за новые переменные эксцентриситеты еиеи наклонения т. е. полагая

так что одно из уравнений площадей принимает вид

а другое принимает вид

Теперь речь идет о том, чтобы найти максимумы функции рассматриваемой как функция причем предполагается, что эти четыре переменные связаны между собой уравнениями площадей (6) и (7). Теперь мы можем записать уравнения, которые вместе с (7) должны определить

в следующем виде (где к обозначает вспомогательную величину)

Можно ли удовлетворить этим уравнениям? Чтобы ответить на этот вопрос, посмотрим, каков вид функции . Я замечу прежде всего, что эта функция зависит не от а только от их разности так что

Далее, представляется в виде ряда, расположенного по возрастающим степеням так что общий член разложения будет иметь следующий вид (с точностью до коэффициента, зависящего лишь от

Более того, должно выполняться, как я уже сказал выше, равенство

и, с другой стороны,

Я утверждаю, что члены для которых не равны одновременно нулю, будут иметь по меньшей мере третью степень относительно эксцентриситетов и наклонений, если только не кратно

Действительно, пусть Два целых числа, которые могут быть положительными или отрицательными, но не равны нулю одновременно и которые удовлетворяют равенствам

Если мы положим

то получим

Прежде всего видно, что не может быть нулем, иначе и были бы равны нулю одновременно. А так как, с другой стороны, и должны быть целыми и равно или то число должно бы было быть целым, а это означало бы, что кратно вопреки нашему предположению.

Итак, чтобы вычислить до членов второго порядка, достаточно положить в сохранить в только так называемые вековые члены.

Но вычисление этих членов давно уже было проведено основателями небесной механики. Я ограничусь тем, что отошлю читателя, например, к Тиссерану (Тisserand. Mecanique celeste, t. I, p. 406). Итак, находим

Коэффициенты зависящие лишь от определены в цитированной работе Тиссерана, означает множество членов по меньшей мере третьей степени относительно

Следовательно, вопрос заключается в том, чтобы сделать эту функцию максимальной или минимальной, предполагая, что связаны соотношением (7)

Уравнения (8) могут тогда быть записаны (если предположить, как и выше, в виде

где обозначают множества членов по меньшей мере второго порядка относительно

Что касается уравнения (7), оно запишется в виде

где обозначает положительную постоянную, равную

обозначает множество членов по меньшей мере третьей степени относительно

Из уравнений (9) и (10) шестью различными способами можно получить в виде рядов по возрастающим степеням

Положим, в самом деле,

подставим эти значения в уравнения (9), которые мы разделим на и в уравнения (10), которые мы разделим на Левые и правые части этих уравнений будут тогда разложены в ряды по возрастающим степеням

Я добавлю даже, что левые и правые части этих уравнений можно разложить в ряды по степеням (если эти переменные достаточно малы по абсолютной величине) при любых постоянных

При эти уравнения сведутся к

Уравнения (11) имеют шесть решений, а именно:

Каждое из этих шести решений простое, откуда мы можем заключить в силу того, что мы видели в п. 30, что можно шестью различными способами разложить и, следовательно, в ряд по возрастающим степеням

Следовательно, мы можем записать

где индекс к может принимать зпачения 1,2, 3, 4, 5 и 6; положим к отправляясь от первого из решений (12); положим отправляясь от второго из решений (12) и т. д.

Из шести разложений (13) четыре последних должны быть отброшены, так как они дают

и периодические решения, к которым они приводят, не отличаются от решений второго сорта, изученных в предыдущем пункте. Но два первых могут быть сохранены и приведут к новым периодическим решениям, для которых наклонения не равны нулю и которые можно назвать решениями третьего сорта.

Впрочем, эти два разложения не ведут к двум действительно различным периодическим решениям.

Мы изучили более подробно решения, для которых

эти уравнения выражают тот факт, что в случае в начале периода имеет место симметричное соединение.

Рассуждение, полностью аналогичное рассуждению п. 40, показало бы, что и для всех значений в начале и середине каждого периода происходит симметричное соединение.

Это не означает, что не существует также периодических решений третьего сорта, для которых симметричных соединений не бывает; действительно, может случиться, что функция будет иметь максимумы и минимумы, отличные от тех, которые соответствуют случаю . Мы еще вернемся к этому вопросу.