Глава X. ПРИМЕНЕНИЕ РАССМОТРЕННЫХ МЕТОДОВ К ИССЛЕДОВАНИЮ ВЕКОВЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ

Постановка задачи

130. Принципы, изложенные в предыдущей главе, находят важное применение при изучении некоторых уравнений, часто рассматриваемых астрономами.

Пусть

— наши канонические уравнения и пусть

Предположим, что сопряженные переменные и являются кеплеровскими переменными, введенными в п. 11, функция зависит только от т. е. от двух больших осей, и что та часть разложения функции которая получится, если отбросить и все другие члены, следующие за представляет возмущающую функцию.

Тогда разлагается по синусам и косинусам линейных комбинаций двух средних аномалий с целыми коэффициентами. Среднее значение этой функции, периодической по и V, я обозначу символом

Часто при изучении вековых возмущений элементов двух планет в разложении функции пренебрегают периодическими членами и, таким образом, заменяют эту функцию ее средним значением . В результате такой замены уравнения примут вид

Можно ли быть уверенным в том, что, поступая таким образом, мы получим именно коэффициенты при вековых членах в иными словами, коэффициенты при членах, периоды которых неограниченно возрастают, когда массы планет стремятся к нулю? Очевидно, что нет, однако степень приближения, вообще говоря, достаточно велика, и астрономы с полным основанием довольствуются ею. Именно с этим обстоятельством и связано изучение уравнений

Поскольку не зависят от , мы прежде всего получим

вследствие чего можно считать константами. Следовательно, мы можем ограничиться рассмотрением четырех пар сопряженных переменных

(обозначения , которые временно обозначим

Функция не зависит ни от одной из этих восьми переменных, и уравнения запишутся в виде

Функция зависит лишь от восьми переменных и поскольку она не зависит от впредь будут считаться постоянными. Таким образом, уравнения записаны в канонической форме.

После того как и вычислены из уравнений величины находят из уравнений

которые интегрируются в квадратурах, поскольку величины не входят в их правые части.

Основатели небесной механики рассматривали эти уравнения, ограничиваясь лишь первыми членами в разложении функции т. е. членами второго порядка относительно эксцентриситетов и наклонений. В этом случае уравнения оказываются линейными и с постоянными коэффициентами. Затем Леверрье и Селлерье рассмотрели члены четвертого порядка и убедились, что эти члены не оказывают влияния на устойчивость.

Однако как мы только что видели, принципы, изложенные в предыдущей главе, позволяют обобщить этот результат и доказать, что он остается в силе несколько дольше, чем можно было бы ожидать, исходя из рассматриваемого приближения (что понятно с точки зрения формального анализа).