Изучение важного исключительного случая

46. В силу только что доказанного, положения п. 42 оказываются несостоятельными в случае, когда гессиан по равен нулю.

Изучим случай, когда этот гессиан равен нулю и в частности случай, когда не зависит от некоторых из переменных х.

Я буду предполагать для определенности, что число степеней свободы равно четырем; две из переменных, и входят в две другие, не входят в и, наконец, гессиан по не равен нулю (гессиан по равен нулю, поскольку При

общее решение дифференциальных уравнений записывается в виде

где и постоянные.

Если и выбраны так, что являются кратными то решение будет периодическим с периодом Т при любых начальных значения я»,

Рассмотрим теперь любое решение при любом значении и пусть

— начальные значения при . Пусть

— значения при

Для того чтобы решение было периодическим, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись условия

Я замечу:

1. Что можно всегда выбрать начальный момент времени таким образом, что начальное значение будет равно нулю как для периодического решения (1), так и для решения, соответствующего начальным значениям (2). Следовательно,

2. Что интеграл наших дифференциальных уравнений и производная не равна нулю равна Уравнения (3), следовательно, не независимы и я могу отбросить первое из них

3. Что при тождественно выполняются равенства

и вследствие этого делятся на Итак, я могу заменить систему (3) следующей:

Я намерен:

1. Определить

(предполагается, что уже определены и равно нулю) так, чтобы уравнения (4) удовлетворялись при

2. Исследовать, равен ли функциональный определитель левых частей системы (4) нулю или, другими словами, является ли при решение

простым решением этой системы или по крайней мере решением нечетного порядка.

Для этого надо исследовать, во что превратятся уравнения (4) при Мы имеем

или, поскольку

или

при имеем

Подставим эти значения и в правую часть уравнения (5).

Если, кроме того, приравнять то сведутся к и и функция станет периодической функцией с периодом Т. Помимо этого она является периодической функцией с периодом Наконец, она зависит еще от Мы можем записать

где целые числа; А и к — функции

Действительно, функция по предположению периодическая с периодом по

После подстановки получаем

где

Среди членов разложения я выделю те, для которых и обозначу через множество этих членов, так что

где суммирование распространяется на все члены, для которых

Функция периодическая функция времени с периодом не что иное, как среднее значение этой функции, так что

или, дифференцируя по , получаем

Но

Таким образом, уравнение (5) принимает вид

так же можно найти

Аналогичными вычислениями находим

или при

и также

С другой стороны, получаем

или при

Так же находим

Прежде всего мы хотим, чтобы при

система (4) удовлетворялась. Но если то сводятся к сводятся к 0, так что два из уравнений (4) удовлетворяются сами по себе. Система (4) сводится просто к

Таким образом, положив в функции рассмотрим затем как функцию ; если эта функция имеет максимум или минимум и если придать значения, соответствующие этому максимуму или минимуму, то уравнения (6) будут удовлетворены.

Приведет ли нас это решение системы (6) к периодическим решениям, сохраняющимся при малых значениях ?

Для этого достаточно, чтобы функциональный определитель уравнений (4) не обращался в нуль при

Но зависят (если положить лишь от так как и две ее производные являются функциями лишь

Следовательно, этот функциональный определитель является произведением двух других:

1. Определителя по и (но это не что иное, как гессиан по который мы предполагаем отличным от нуля).

2. Определителя величин

величины (7) являются функциями

Производная любой из величин (7) по или равна ее производной по или

Следовательно, искомый определитель является функциональным определителем величин (7) по

Мы должны вычислить значение этого определителя при

Но когда обращаются в пуль, величины (7) сводятся к левым частям уравнений (6).

Следовательно, наш определитель является чем иным, как гессианом по переменным (8).

Если этот гессиан не равен нулю, наши дифференциальные уравнения будут иметь периодические решения при малых значениях

Этот результат можно выразить иначе. Периодические решения сохраняются при малых значениях если только уравнения (6) имеют простое решение. Более того, периодические решения сохранятся, если уравнения (6) имеют решение нечетного порядка.

Но в силу точка максимума функции будет всегда соответствовать решению уравнений (6) нечетного порядка.

Следовательно, если функция имеет максимум или минимум, паши дифференциальные уравнения будут иметь периодические решения при малых значениях

Решения второго сорта

47. Применим предыдущие рассуждения к задаче трех тел, предположив сначала, что три тела движутся в одной плоскости, и займемся отысканием периодических решений второго сорта.

Примем переменные п. 15, т. е. переменные

Решение будет периодическим, если в конце периода примут свои начальные значения и если увеличатся на величину, кратную

Функция равна

зависит только от .

Поэтому если предположить, что и обозначить через

начальные значения наших шести переменных, то четыре из этих шести переменных, будут постоянными и

Если, кроме того, положить

то получим

Следовательно, при если были выбраны так, что кратны решение будет периодическим с периодом каковы бы ни были постоянные

Мы зададим себе следующий вопрос: можно ли выбрать постоянные таким образом, чтобы для малых значений уравнения движения имели периодическое решение с периодом Т, такое чтобы начальные значения шести переменных были соответственно равны

где функции обращающиеся в нуль вместе с

Чтобы разрешить этот вопрос, достаточно применить положения предыдущего пункта.

Поскольку периодическая функция по то мы можем записать

где — функции .

Заменим в шесть переменных

величинами

получим

где

периодическая функция пусть среднее значение этой функции, так что

где сумирование распространено на все такие члены, что

В силу принципов предыдущего пункта найдем искомые значения , решив систему

Мы всегда можем предполагать, что начальный момент времени был выбран так, что

С другой стороны, в силу определения функции имеем

Следовательно, можно заменить предыдущую систему более простой системой

Могло бы случиться, что все решения системы (1) не подходят; однако имеются решения, которые безусловно подходят: это те, порядок кратности которых нечетен, и в частности те, которые соответствуют настоящему максимуму или минимуму функции

Итак, чтобы установить существование решений второго сорта, достаточно показать, что функция имеет максимум.

Но эта функция ограничена, более того, она периодическая по она зависит еще от я добавлю, что она может быть разложена в ряд по степеням

где С — постоянная площадей.

Функция будет, следовательно, вещественной, только если будут выполняться неравенства

должно быть всегда заключено между этими двумя пределами. Я могу выбрать переменную так, что и два радикала (2) будут двоякопериодическими функциями

Таким образом, однозначная, периодическая и ограниченная функция всего лишь трех переменных (поскольку и С считаются фиксированными и а именно, переменных

Эта функция имеет, следовательно, по меньшей мере один максимум и один минимум, так что всегда имеются по меньшей мере два периодических решения второго сорта.

Известно, что разложение возмущающей функции содержит лишь косинусы, так что величина, которую мы обозначили к, всегда равна нулю.

Следовательно, если положить

то

останется удовлетворить уравнению

или, что то же самое,

Это всегда возможно, поскольку периодическая функция и должна иметь по меньшей мере один максимум и один минимум.

Следовательно, всегда существуют по меньшей мере два решения второго сорта, для которых

Если то начальные значения равны нулю, а ото означает, что имеет место симметричное соединение.

Рассуждением, аналогичным приведенному в п. 40, можно заключить отсюда, что для малых значений также будет симметричное соединение и что если в начале периода было симметричное соединение, то оно будет и в середине периода.

Итак, среди периодических решений второго сорта имеются всегда такие, которые допускают симметричные соединения (или противостояния) в начале и середине каждого периода.

Все же может представиться некоторая трудность, и я вынужден о ней сказать несколько слов.

Функция Я зависит от так как мы считаем фиксированными и выбираем 10 равным нулю.

Функция периодическая по кроме того, третья переменная подчиняется некоторым неравенствам, напрршер, следующему:

Из этого мы заключили, что функция всегда имеет максимум и минимум.

Однако можно задать себе вопрос, что произойдет, если функция достигнет максимума именно тогда, когда достигнет одного из пределов, определенных неравенствами (3).

Будут ли еще применимы выводы п. 46?

В этом можно усомниться, так как если достигает максимума при например, то производная не равна пулю, а, напротив, бесконечна.

Верно, что для задачи трех тел можно без труда убедиться, что максимум достигается не при этом значении но поскольку этот случай мог бы представиться при возмущаюших силах, отличных от тех, которые рассматриваются в задаче трех тел, то более подробное изучение его представляет некоторый интерес.

Предположим, например, что мы рассматриваем значения очень, близкие к мы можем воспользоваться переменными из п. 17, т. е. переменными

Обозначим тогда через

начальные значения этих шести переменных и посмотрим, можно ли выбрать эти начальные значения так, что решение будет периодическим, а будут функциями обращающимися в нуль вместе с

Мы видели, что для этого достаточно выбрать

так, что будет максимальной или минимальной; с другой стороны, мы знаем, что нужно рассматривать как фиксированные и всегда можно предположить, что 10 равно нулю. Если достигает максимума при то в новых переменных этот максимум будет достигнут при

Но на этот раз нет никакой трудности, потому что голоморфная функция которая может быть разложена в ряд по степеням этих переменных, тогда как при прежних переменных эта трудность возникала из-за того, что переставала быть голоморфной функцией при и разлагалась в ряд не по целым степеням но по степеням

Итак, результаты предыдущего пункта остаются справедливыми даже тогда, когда функция достигает своего максимума при или, более общим образом, когда достигает одного из пределов, определенных неравенствами (3).