Замена переменных

137. Совершим теперь замену переменных, аналогичную замене переменных, произведенной в п. 131.

Для этого положим

где углы, определенные в п. 131.

Затем так же, как в п. 131, введем обозначения

и установим, что каноническая форма уравнений не изменится, если старые переменные

заменить новыми

Переменные и уже определены как функции от и А в предыдущей главе.

Осталось показать, какой вид имеет соотношение, связывающее новые переменные .

Имеем

квадратичные формы относительно а и с коэффициентами, зависящими от , которые записываются в виде

имеют тот же смысл, что и углы, обозначенные этими символами в п. 131.

Рассуждая так же, как в п. 135, можно показать, что всякая функция, периодическая по , будет после замены переменных периодической по а среднее значение ее в обоих случаях будет одинаковым.

Некоторые выводы можно сделать и относительно вида функции каким-то образом зависит от , но она периодична по и, кроме того, ее можно разложить по степеням

К этому добавлю, что она не должна изменяться при замене на , если одновременно изменить знак стих. Чтобы понять это, достаточно сослаться на то, о чем мы говорили в п. 12, и заметить, что когда

переходят в

то величины переходят в я, а переменные и т. д. изменяют знак.

Произведем, наконец, последнюю замену переменных, положив так же, как и в п. 131,

В силу замечания в п. 6, эта замена переменных не изменяет канонической формы уравнений.

Тогда будет разлагаться по степеням и