Глава II. ИНТЕГРИРОВАНИЕ С ПОМОЩЬЮ РЯДОВ

Определения и леммы

20. Метод Коши доказательства существования интеграла дифференциальных уравнений применялся другими геометрами для доказательства большого числа теорем. Так как этот метод и эти теоремы будут нам полезны в дальнейшем, мне приходится посвятить им вводную главу. Для этого изложения я воспользуюсь одним обозначением, уже введенным мною в другом мемуаре; оно поможет мне избежать длиннот и повторений.

Пусть два ряда по возрастающим степеням х и у, предположим, что каждый из коэффициентов ряда действителен и положителен и превосходит по абсолютной величине соответствующий коэффициент ряда Мы будем тогда писать

или, если необходимо указать переменные, относительно которых производится разложение,

Нетрудно видеть, что если ряд, сходящийся для некоторых значений х и у (представляющий, следовательно, функцию от х и у, голоморфную при , то можно всегда найти два действительных положительных числа М и а таких, что

В случае, когда функция обращается в нуль при , можно написать

Предположим, что кроме аргументов х и у, по которым она предполагалась разложенной в ряд, зависит еще от другой переменной тогда числа М и а будут в общем случае непрерывными функциями Если эти два числа не обращаются в нуль ни при одном из рассматриваемых

значений можно установить для них нижний предел; следовательно, можно М и а придать постоянные значения, достаточно большие, для того чтобы предыдущие неравенства выполнялись.

21. Действия с неравенствами, определенными в предыдущем пункте, основаны на принципах, которые я приведу вследствие их очевидности без доказательства.

1. Если ряд сходится, то сходится и всякий ряд для которого выполнено неравенство

2. Можно складывать любое число неравенств одного знака

3. Если имеется бесконечное число неравенств одного знака

то можно записать, введя новую переменную, что

4. Можно перемножить два неравенства одного и того же знака.

5. Если имеем

и, с другой стороны,

то мокхно в неравенстве (1) вместо подставить в левую часть а в правую часть Итак, можно записать

6. Можно дифференцировать неравенство

по одной из двух переменных х и у.

7. Можно интегрировать неравенство, понимая интегрирование любым из двух способов: во-первых, можно интегрировать неравенство (2) по одной из двух переменных х или у, беря 0 за нижний предел интегрирования.

Тогда получаем

Само собой разумеется, что при вычислении этих интегралов у считается постоянным.

8. Но может также случиться, что функции зависят не только от двух аргументов х и у, но еще и от переменной причем мы не считаем, что функции разложены в ряд по степеням этой переменной.

Предположим, что неравенство (2) верно для всех значений заключенных между можно проинтегрировать это неравенство по рассматривая х и у как константы, и записать

если, конечно, пределы интегрирования заключены между

22. Рассмотрим функцию разложенную в ряд по степеням х и у. Нам часто будет встречаться случай, когда х и у зависят от некоторого параметра циих можно разложить в ряд по степеням этого параметра. Таким образом, запишем

Предположим, что в функцию вместо х и у подставлены их разложения (1), тогда станет функцией от до бесконечности и бесконечности; более того, она может быть разложена в ряд по степеням так что

Легко видеть, что зависит только от от и, вообще, зависит

Предпбложим теперь, что имеет место неравенство

подставляем вместо х и у их разложения (1), так что получаем

Легко видеть, что получается

В этом можно убедиться, применяя пятый принцип предыдущего пункта, что дает

Мы условимся записывать для краткости функцию вместо