Периодические решения вблизи положения равновесия

51. Периодические решения, о которых шла речь до сих пор, не исчерпывают всех тех периодических решений, существование которых можно доказать. Так, задача трех тел допускает периодические решения следующей природы: два малых тела описывают вокруг большого орбиты, очень мало отличащиеся от двух кеплеровских эллипсов в некоторый момент эти два малых тела проходят очень близко одно от другого и оказывают друг на друга значительное возмущающее действие, затем они снова удаляются друг от друга и описывают орбиты, которые очень близки к двум новым кеплеровским эллипсам значительно отличающимся от . Два малых тела очень мало отклоняются от эллипсов до тех пор, пока снова не оказываются очень близко одно от другого. Таким образом движение почти кеплеровское за исключение некоторых моментов, когда расстояние между двумя телами становится очень малым и когда возникают очень значительные, но очень коротковременные возмущения. Может случиться, что подобные столкновения повторяются

периодически и так, что по прошествии некоторого времени тела снова вернутся на эллипсы , Тогда решение будет периодическим. Позже я вернусь к этому виду периодических решений, которые совершенно отличны от изученных нами в этой главе.

Я оставлю до другого тома периодические решения, названные мною решениями второго рода и определенные в моем мемуаре в XIII томе «Acta mathematica» [18], но их изучение не может быть произведено раньше, чем мы изучим теорию интегральных инвариантов.

Однако есть целая категория периодических решений, теория которых тесно связана с теорией решений второго рода, но о которых я все же хочу сказать здесь несколько слов, хотя и буду их рассматривать более подробно в другом месте.

Пусть

— система дифференциальных уравнений. Я предполагаю, что разлагаются в ряд по возрастающим степеням и параметра

Кроме того, я предполагаю что при

одновременно (и при любом выполняются равенства

Тогда система (1) допускает в качестве частного решения

и так как значения постоянны, то это решение можно рассматривать как периодическое решение с любым периодом.

Я намерен изучить периодические решения, которые от него отличаются очень мало.

Пусть начальные значения пусть значения этих же величин при

Можно разложить в ряды по степеням

Рассмотрим следующее уравнение относительно

в котором предполагается, что

Если это уравнение не имеет кратных корней, я обозначу через его корней.

Можно тогда проверить, что функциональный определитель по Р становится равным

при

Для того чтобы рассмотренное решение было периодическим с периодом Т, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось

Эта система обладает следующим очевидным решением:

Это нам не дает ничего нового, поскольку мы знаем, что можно рассматривать как периодическое решение уравнений (1). Имеют ли эти уравнения помимо этого очевидного периодического решения другие, которые отличны от него, но отличны очень мало? Другими словами, могут ли уравнения (2) удовлетворяться, когда вместо в них подставляют функции от которые, не будучи тождественным нулем, обращаются в нуль при

Если определитель А не равен нулю, решение (3) при является простым решением системы (2); следовательно, помимо решения (3) система (2) не может удовлетворяться функциями обращающимися в нуль вместе с

Если, напротив, определитель А обращается в нуль, можно найти одним или несколькими способами сходящиеся ряды, расположенные по дробным степеням обращающиеся в нуль вместе с этой переменной и которые при подстановке их вместо удовлетворяют уравнениям (2). Имеют ли таким образом определенные ряды действительные коэффициенты?

Только специальное обсуждение, к которому я вернусь при изучении периодических решений второго рода, поможет это выяснить; если эти ряды имеют действительные коэффициенты, они определяют новую категорию периодических решений, которые существуют при малых значениях которых принимают только очень малые значения.

Для того чтобы определитель А обращался в нуль, необходимо и достаточно, чтобы один из множителей обращался в нуль, т. е. чтобы

имело место равенство

где один из корней уравнения относительно S. Для того чтобы это было возможным, необходимо, чтобы было комплексным; тогда уравнение относительно S будет иметь сопряженный комплексный корень и будет также выполняться равенство

откуда видно, что два множителя А обращаются в нуль одновременно.