Задачи динамики, в которых существует однозначный интеграл

86. Имеются задачи, о которых известно, что однозначный интеграл существует, и можно попробовать проверить, что условия, сформулированные в предыдущем пункте, действительно выполнены.

Возьмем в качестве примера задачу движения подвижной точки М, притягиваемой двумя неподвижными центрами .

Я предположу для простоты, что движение происходит в плоскости; кроме того, я предположу, что масса А велика, тогда как масса В равна очень малой величине так что притяжение точки В можно рассматривать как возмущающую силу.

Мы определим теперь положение точки М с помощью оскулирующих элементов ее орбиты относительно А и обозначим эти элементы буквами , как в п. 10. Тогда получим

разлагается в ряд следующего вида:

Коэффициенты зависят от ; для того чтобы существовал интеграл, необходимо, чтобы между двумя произвольными коэффициентами одного класса илолось соотношение я говорю, , вместо , потому что зависит не от двух переменных как в пунктах 84 и 85, а от одной переменной), когда принимает значение, удовлетворяющее соотношению .

Но здесь все коэффициенты (у которых теперь всего один индекс) принадлежат одному классу, и соотношение ( записывается просто так

пли Следовательно, трудность могла бы возникнуть лишь при бесконечных значениях Поэтому если мы вернемся к сокращенной терминологии предыдущих пунктов и обозначим через произвольную область, образованную бесконечным числом систем значений , но такую, что для всех этих систем значение конечно, то класс, к которому принадлежат все эти коэффициенты В, не будет принадлежать области Итак, ничто не будет препятствовать существованию интеграла, однозначного в этой области

Перейдем к другой задаче, а именно задаче движения тяжелого тела вокруг неподвижной точки.

Эта задача была проинтегрирована в трех различных частных случаях Эйлером, Лагранжем и Ковалевской (см. «Acta mathemalica», т.XII). Как мне кажется, Ковалевская открыла еще новые случаи интегрируемости [24].

Итак, можно спросить, препятствуют ли существованию однозначного интеграла, отличного от интегралов живых сил и площадей, соображения, изложенные в этой главе.

Я предположу, что произведение веса тела на расстояние от центра тяжести до точки подвеса очень мало, так что можно записать уравнения задачи в виде

Переменные образуют три пары сопряженных переменных; обозначает полную энергию системы, половина живой силы, — очень малая величина, а представляет собой произведение веса тела на расстояние от центра тяжести до горизонтальной плоскости, проходящей через точку подвеса.

В случае, когда равно нулю (т. е. когда центр тяжести совпадает с точкой подвеса), движение твердого тела сводится к движению по Пуансо. Поскольку мы предполагали очень малым, то это движение Пуансо будет служить нам первым приближением подобно кеплеровскому движению при изучении задачи трех тел с помощью последовательных приближений.

Прежде чем идти дальше, я должен определить величины которые я назову двумя средними движениями и которые будут играть важную роль в последующих рассмотрениях. В движении по Пуансо эллипсоид инерции катится по неподвижной плоскости. Пусть Р — основание перпендикуляра, опущенного из точки подвеса на эту неподвижную плоскость, и точка касания. Эта точка касания принадлежит кривой, неподвижной относительно эллипсоида и называемой полодией. По истечении некоторого времени Т та же точка полодии снова коснется неподвижной плоскости в точке Пусть а — угол Мы положим

будут средними движениями.

Теперь уравнения движения по Пуансо можно записать следующим образом.

Пусть х, у и z — координаты произвольной точки твердого тела, а за начало координат взята точка подвеса, причем ось z вертикальна. Положим

где две постоянные интегрирования.

Тогда имеем

где три периодические по I функции от с периодом (эти функции, как известно, выражаются через эллиптические функции); две новые постоянные интегрирования.

Если предположить, что точка центр тяжести твердого тела, то сводится с точностью до постоянного множителя к z, так что мы сможем записать

где коэффициенты В зависят только от

Как только мы дадим постоянные значения, удовлетворяющие условию , коэффициенты В будут зависеть лишь от так что

любые два из них будут связаны соотношениями. будут зависеть только от , если положить, как и в предыдущих пунктах,

Следовательно, любые из связаны соотношением. Таким образом, любой класс будет особым первого порядка.

Итак, ничто не препятствует существованию одного однозначного интеграла, отличного от интеграла живых сил; и действительно, нам известно, что существует один такой интеграл, а именно интеграл площадей. Но вопрос состоит в том, чтобы узнать, существует ли третий интеграл.

С этой целью посмотрим, какие классы будут особыми второго порядка. Для этого необходимо и достаточно, чтобы между любыми тремя из было два соотношения и, следовательно, чтобы все были функциями одной из них. Таким образом, мы должны различать несколько разновидностей классов.

1. Класс 1/0, содержащий все коэффициенты Он является особым второго порядка. Действительно, имеем

где зависит лишь от и должна, следовательно, рассматриваться как постоянная, потому что мы предположили, что значения постоянные. Тогда имеем

Для того чтобы были функциями от одной из них, необходимо, чтобы все , за исключением одной, обращались в нуль, т. е., чтобы функция сводилась к экспоненте

Но чтобы удовлетворить условию , необходимо дать значение 0; каково же то движение Пуансо, для которого Несколько более внимательное рассмотрение показывает, что это то, которое соответствует равномерному вращению вокруг одной из осей инерции. В подобном движении функция является постоянной, не зависящей от Это доказывает, что все о за исключением равны нулю для всех особых значений

Следовательно, этот класс особый второго порядка.

2. Классы вида которые содержат лишь три коэффициента

Эти классы могут быть особыми второго порядка лишь в случае, когда

или, что то же самое, когда в разложении по положительным и отрицательным степеням нет члена с предположении, что действительны).

Это не так, вообще говоря, когда эллипсоид инерции не является эллипсоидом вращения, но если этот эллипсоид является эллипсоидом вращения, мы получим

где — постоянные. Отсюда следует, что

исключая случаи или —1.

Все классы будут тогда особыми второго порядка, за исключением классов

3. Все другие классы, которые сводятся к единственному коэффициенту будут особыми второго порядка.

Итак, если эллипсоид инерции есть эллипсоид вращения, то все классы особые второго порядка, за исключением классов

Поэтому ничто не препятствует существованию третьего однозначного интеграла и даже тому, чтобы он был алгебраическим, если только якобиан трех интегралов обращается в нуль при или (Это последнее условие не является необходимым в случае Лагранжа, т. е. если точка подвеса находится на оси вращения, потому что тогда и сводятся к постоянным).

Если, напротив, эллипсоид инерции не есть эллипсоид вращения, то имеется бесконечное число классов, не являющихся особыми второго порядка, а именно классы но рассмотрим область включающую бесконечное число систем значений и 0, и предположим, что ни для одной из этих систем не кратно ни один из классов тогда не будет принадлежать этой области. Теперь ничто не препятствует существованию третьего однозначного интеграла, если только якобиан трех интегралов обращается в нуль, как только становится кратным отсюда следует, что этот третий интеграл не может в общем случае быть алгебраическим.

Поскольку сформулированные в этой главе условия являются необходимыми, но не достаточными, ничто не доказывает, что этот третий интеграл существует; прежде чем высказывать суждение по этому поводу, следует дождаться полной публикации результатов исследований Ковалевской.